Kunstweg de Jost Bürgi

Le Kunstweg[1] ou Artificium de Jost Bürgi est un algorithme récursif qui permet de calculer pour tout entier positif $n$ , des valeurs approchées rationnelles des sinus des $k\times {\frac {90^{o}}{n}}$ pour tous les entiers $k<n$ et pour toute précision préalablement souhaitée. Cet algorithme ne fait appel qu’à des opérations algébriques simples (additions et divisions) et fournit, pour un entier $n$ donné, tous les $\sin(k\times {\frac {90^{o}}{n}})$ simultanément.

Son inventeur, Jost Bürgi (1552-1632) est un horloger, astronome et mathématicien suisse qui a travaillé au service des landgraves de Hesse-Cassel, puis des empereurs du Saint-Empire romain germanique. Il a collaboré avec Johannes Kepler au début du XVII^e siècle. Son Kunstweg, datant de la fin des années 1580, suit une démarche originale et novatrice pour son époque. Il n’a été redécouvert qu’à partir de 2014.

Figure 1 : Le Kunstweg de Jost Bürgi dans son Fundamentum Astroniomiae.

L'algorithme

Pour un entier $n$ donné, soit $(u_{1,k})_{0\leqslant k\leqslant n}$ un vecteur-colonne composé d'entiers positifs tel que les ${\frac {u_{1,k}}{u_{1,n}}}$ soient des approximations grossières des $\sin(k{\frac {90^{o}}{n}})$ .

On calcule d'abord un vecteur-colonne auxiliaire $(v_{1,k})_{1\leqslant k\leqslant n}$ en commençant par sa dernière composante $v_{1,n}={\frac {u_{1,n}}{2}}$ , les précédentes étant obtenues en remontant par la relation : $v_{1,k-1}=v_{1,k}+u_{1,k-1}$ .

On calcule ensuite un nouveau vecteur-colonne $(u_{2,k})_{0\leqslant k\leqslant n}$ défini par : $u_{2,0}=0$ et la relation : $u_{2,k+1}=u_{2,k}+v_{2,k+1}$ .

Les rationnels ${\frac {u_{2,k}}{u_{2,n}}}$ sont alors des nouvelles approximations des $\sin(k{\frac {90^{o}}{n}})$ , plus précises que les premières et on pourra réitérer le processus par le calcul d'un vecteur-colonne auxiliaire $(v_{2,k})_{k\leqslant n}$ , puis d'un nouveau vecteur $(u_{3,k})_{k\leqslant n}$ etc. pour obtenir des approximations de plus en plus précises.

Le document original de Bürgi (voir Figure 1) donne un exemple pour $n=9$ . Le tableau se lit de droite à gauche :
les premières approximations $(u_{1,k})$ se trouvent dans la colonne de droite notée $Sinus_{1}$
le vecteur-colonne auxiliaire $(v_{1,k})$ se trouve à gauche de celle-ci
les deuxièmes approximations $(u_{2,k})$ se trouvent dans la colonne notée $Sinus_{2}$ et ainsi de suite.
Sur ce document original de Bürgi, les nombres sont exprimés dans le système sexagésimal, ce qui rajoute une petite difficulté d'interprétation.
Les angles $(k\times {\frac {90^{o}}{9}})$ dont on veut calculer les sinus se trouvent dans la colonne de gauche du tableau.

Figure 2 : Kunstweg de Jost Bürgi en écriture décimale. Les approximations successives se lisent de droite à gauche.

Le tableau suivant donne une traduction du manuscrit en écriture décimale (voir Figure 2).

Les valeurs fournies par la 5ème approximation de $\sin 10^{o}\;;\sin 20^{o}\;;\sin 30^{o}\;;\dots$ sont respectivement ${\frac {2235060}{12871192}}\;;{\frac {4402208}{12781192}}\;;{\frac {6435596}{12871192}}$ etc., soit en écriture décimale : $0,173648253...\;;0,342020226...\;;0,5$ etc. Pour chacune de ces valeurs, les 6 premières décimales sont correctes.

La convergence

Jost Bürgi n'a pas apporté la preuve de la convergence de son algorithme. Il faudra attendre la redécouverte du Kunstweg en 2014 pour que des mathématiciens démontrent sa convergence[2]. Ils auront recours à des notions d’algèbre linéaire élaborées au XX^e siècle, dont le puissant théorème de Perron-Frobenius (1907):
Ils considèrent l'application linéaire qui permet de passer d'une colonne "approximation" à la suivante. Elle est définie par la matrice carrée à coefficients positifs $M={\begin{pmatrix}1&1&1&1&1&\cdots &1&{\frac {1}{2}}\\1&2&2&2&2&\cdots &2&1\\1&2&3&3&3&\cdots &3&{\frac {3}{2}}\\1&2&3&4&4&\cdots &4&2\\\cdots \\&&&&&&k&{\frac {k}{2}}\\\cdots \\1&2&3&4&5&\cdots &n-1&{\frac {n-1}{2}}\\1&2&3&4&5&\cdots &n-1&{\frac {n}{2}}\end{pmatrix}}$ .

Cette matrice satisfait les conditions requises pour l'application du théorème de Perron-Frobenius. Ils montrent alors que son vecteur-propre de Frobenius est $V={\begin{pmatrix}\sin({\frac {90^{o}}{n}})\\\sin({\frac {180^{o}}{n}})\\\vdots \\\sin({\frac {k\times 90^{o}}{n}})\\\vdots \\\sin(90^{o})\end{pmatrix}}$

Ils apportent ainsi la preuve de la validité de l'algorithme de Bürgi et de sa convergence.

L'histoire du Kunstweg

La genèse

Selon ses biographes[3], Jost Bürgi ne savait pas lire le latin et il explique lui-même que, ne pouvant accéder aux écrits des maîtres, il fut amené à développer ses propres méthodes[4]. On peut se demander comment il a inventé son algorithme après en avoir constaté l'originalité.
La présentation de la progression de droite à gauche donne sans doute un indice : si l'on relit son tableau de la gauche vers la droite, il apparaît que chaque colonne est composée des différences de deux termes consécutifs de la précédente. Ainsi Bürgi a pu observer que, pour une colonne donnée, les différences secondes sont proportionnelles aux termes de la colonne initiale avec cependant une perte de précision. Il a alors pu imaginer qu'en inversant le processus, on gagnerait en précision[5].
Voici le calcul de ces différences secondes ; il faut rappeler que Bürgi était aussi l'un des promoteurs de la prostaphérèse (transformation des produits en sommes ou différences et vice-versa) :

${\begin{matrix}\mathbb {Sinus} &\mathbb {differences} &{\begin{matrix}\mathbb {differences\;secondes} \\\mathbb {(valeurs\;absolues)} \end{matrix}}\\\hline \sin(\alpha -\delta )\\&2\sin({\frac {\delta }{2}})\cos(\alpha -{\frac {\delta }{2}})\\\sin \alpha &&4\sin ^{2}({\frac {\delta }{2}})\sin \alpha \\&2\sin({\frac {\delta }{2}})\cos(\alpha +{\frac {\delta }{2}})\\\sin(\alpha +\delta )\\\hline \end{matrix}}$
$\delta$ étant constant, la proportionnalité des différences secondes avec les sinus est ainsi établie.
N.B. Au sens strict, la différence seconde est négative. Il s'agit ici d'une distance.

L'énigme du Kunstweg

Figure 3 : La matrice du Kunstweg de Jost Bürgi publiée par Nicolaus Reymers dans son Fundamentum Astronomicum en 1588.

En 1588, un ami de Bürgi, Nicolaus (Ursus) Reymers publie un ouvrage, Fundamentum Astronomicum, dans lequel il fait allusion au Kunstweg de Jost Bürgi, sans en donner le détail mais uniquement un croquis accompagné d'un tableau à compléter[6].

Plus tard, lorsque Clavius lui demande des explications, Reymers ne dévoile pas la méthode de calcul sous prétexte qu'il s'est engagé auprès de Bürgi à la tenir secrète...
Ce secret tiendra durant plus de 4 siècles pendant lesquels le croquis de Reymers sera considéré comme une énigme.

Il faudra attendre la découverte en 2014 du manuscrit de Bürgi dans la Bibliothèque Universitaire de Wroclaw (Breslau) pour que cette énigme soit résolue et deux ans de plus pour que l'algorithme de Bürgi soit validé par les mathématiciens.

Le Fundamentum Astronomiae

Jost Bürgi a présenté son Kunstweg dans un manuscrit jamais publié, le Fundamentum Astronomiae qu'il a remis à l'empereur Rodolphe II à la suite d'une audience en 1592. Cet ouvrage de trigonométrie comportait en outre une table des sinus développée sur 36 pages de minute en minute. On ne sait pas par quelles circonstances ce manuscrit a changé de mains pour se retrouver en 1628 à Sagan à la cour d'Albrecht von Wallenstein. Il est possible que Rodolphe II l'ait confié à Kepler qui était son mathématicien et qui fut au service de Wallenstein plus tard[7]. Le manuscrit fut déposé chez au Chapitre des Augustins de Sagan. Lors de la sécularisation de ce dernier en 1810, le manuscrit rejoignit le corpus de la Bibliothèque Universitaire de Wroclaw. C'est là qu'il a été redécouvert en 2014 par Menso Folkerts, historien des mathématiques.

De nos jours, Le Fundamentum Astronomiae est consultable en ligne sur le site de l'Université de Wroclaw (voir Bibliographie).

Bibliographie

(de) Jost Bürgi, Fundamentum Astronomiae, 1592, Blbliotheka Uniwersyteka Wroclaw. Accessible en ligne.
(en) Menso Folkerts, Dieter Launert, Andreas Thom : Jost B¨urgi’s Method for Calculating Sines, arXiv:1510.03180, février 2016, Accessible en ligne.
(de) Fritz Staudacher : Jost Bürgi, Kepler und der Kaiser - Uhrmacher, Astronom, Mathematiker, Instrumentenbauer, Erz-Metallurgist. (4^e édition), NZZ Libro, Zürich, 2018. .
(en) Jörg Waldvogel, Jost Bürgi’s Artificium of 1586 in modern view, an ingenious algorithm for calculating tables of the sine function, Elem.Math. (Elemente der Mathematik) 71, (2016) 89-99. Accessible en ligne
(en) Grégoire Nicollier, How Bürgi computed the sines of all integer angles simultaneousely in 1586, Mathematische Semesterberichte, 2018, vol 65, n°1. Accessible en ligne.
(en) Denis Roegel, A preliminary note on Bürgi’s computation of the sine of the first minute, Hal.inria, 2016. Accessible en ligne.

Notes et références

Bürgi a nommé lui-même Kunstweg ou Artificium son algorithme. En allemand, Kunst signifie art dans le sens de travail bien fait et Weg chemin. Ainsi Kunstweg pourrait se traduire par démarche artistique ou démarche heuristique.
Menso Folkerts, Dieter Launert, Andreas Thom, Jost Bürgi's Method for Calculating Sines, arXiv 2016.
Staudacher, Jost Bürgi, Kepler und der Kaiser, 2018, page 149. Fehlende Sprachkenntnisse als Handicap.
Bürgi-Kepler, Arithmetica Bürgii, page 7 : Weil mir aus Mangel der Sprachen die Thür zu den Authoribus nit allzeit offen gestanden, wie andern, hab ich etwas mehr als etwa gelehrte und belesene, meinen eigenen Gedankhen nachhengen und neue Wege suechen müessen.
Jörg Waldvogel, Jost Bürgi’s Artificium of 1586..., ETH Zürich, mars 2016.
Menso Folkerts, Dieter Launert, Andreas Thom, Jost Bürgi’s Method for Calculating Sines, Historia Mathematica, 2015, pages 8-10.
Staudacher page 198.

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[1] Bürgi a nommé lui-même Kunstweg ou Artificium son algorithme. En allemand, Kunst signifie art dans le sens de travail bien fait et Weg chemin. Ainsi Kunstweg pourrait se traduire par démarche artistique ou démarche heuristique.

[2] Menso Folkerts, Dieter Launert, Andreas Thom, Jost Bürgi's Method for Calculating Sines, arXiv 2016.

[3] Staudacher, Jost Bürgi, Kepler und der Kaiser, 2018, page 149. Fehlende Sprachkenntnisse als Handicap.

[4] Bürgi-Kepler, Arithmetica Bürgii, page 7 : Weil mir aus Mangel der Sprachen die Thür zu den Authoribus nit allzeit offen gestanden, wie andern, hab ich etwas mehr als etwa gelehrte und belesene, meinen eigenen Gedankhen nachhengen und neue Wege suechen müessen.

[5] Jörg Waldvogel, Jost Bürgi’s Artificium of 1586..., ETH Zürich, mars 2016.

[6] Menso Folkerts, Dieter Launert, Andreas Thom, Jost Bürgi’s Method for Calculating Sines, Historia Mathematica, 2015, pages 8-10.

[7] Staudacher page 198.