Interpolation bilinéaire

La grille régulière à partir de laquelle on interpole. Les quatre points rouges sont les points existants, et le point vert est le point dont on cherche la valeur par interpolation.

Contrairement à ce que son nom suggère, la fonction d'interpolation n'est pas une forme linéaire mais quadratique, qui peut se mettre sous la forme :

${\displaystyle f(x,y)=ax+by+cxy+d.}$

La valeur f(x,y) est la valeur interpolée au point de coordonnées (x,y), et a, b, c, d sont des constantes déterminées à partir des quatre voisins (x₁,y₁), (x₁,y₂), (x₂,y₁), (x₂,y₂) du point (x,y) dont on cherche la valeur. Connaissant les valeurs en ces points, on peut écrire un système de 4 équations à 4 inconnues :

${\displaystyle \left\{{\begin{matrix}f(x_{1},y_{1})=ax_{1}+by_{1}+cx_{1}y_{1}+d\\f(x_{2},y_{1})=ax_{2}+by_{1}+cx_{2}y_{1}+d\\f(x_{1},y_{2})=ax_{1}+by_{2}+cx_{1}y_{2}+d\\f(x_{2},y_{2})=ax_{2}+by_{2}+cx_{2}y_{2}+d\end{matrix}}\right.}$

L'interpolation bilinéaire peut s'interpréter comme une succession de deux interpolations linéaires, une dans chaque direction.

Exemple d'interpolation bilinéaire dans le carré formé par les points (0,0), (0,1), (1,1) et (1,0) et respectivement de valeur 0, 1, 0.5 et 1. Les valeurs de f(x,y) sont représentées par des variations de couleur.

Un changement de variable permet de simplifier considérablement le système à résoudre. Considérons les nouvelles variables suivantes :

${\displaystyle dx=x-x_{1},\quad dy=y-y_{1},}$

où (x₁,y₁) sont les coordonnées du coin inférieur gauche. La nouvelle fonction d'interpolation bilinéaire s'écrit alors :

${\displaystyle f(dx,dy)=a\,dx+b\,dy+c\,dx\,dy+d.}$

En introduisant les notations ${\displaystyle \Delta x=x_{2}-x_{1}}$ et ${\displaystyle \Delta y=y_{2}-y_{1}}$, la matrice à inverser devient :

${\displaystyle A={\begin{pmatrix}0&0&0&1\\\Delta x&0&0&1\\0&\Delta y&0&1\\\Delta x&\Delta y&\Delta x\Delta y&1\\\end{pmatrix}}}$ .

Il reste à introduire les notations suivantes :

${\displaystyle \Delta f_{x}=f(x_{2},y_{1})-f(x_{1},y_{1}),\quad \Delta f_{y}=f(x_{1},y_{2})-f(x_{1},y_{1}),}$

${\displaystyle \Delta f_{xy}=f(x_{1},y_{1})+f(x_{2},y_{2})-f(x_{2},y_{1})-f(x_{1},y_{2}).}$

La fonction d'interpolation bilinéaire solution du problème vient alors directement :

${\displaystyle f(x,y)=\Delta f_{x}{\frac {dx}{\Delta x}}+\Delta f_{y}{\frac {dy}{\Delta y}}+\Delta f_{xy}{\frac {dx}{\Delta x}}{\frac {dy}{\Delta y}}+f(x_{1},y_{1}).}$

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