Intégrateur symplectique

Souvent, H = A + ε B, où A est intégrable et B est une perturbation intégrable souvent aussi, et ε un réel très petit. Appelons L l'opérateur de Liouville de A et M l'opérateur de Liouville de B :

Alors le problème est de calculer exp{L + ε M} t qui hélas est différent de exp{L t} .(exp Mt)^ε.

Le cas classique en mécanique céleste est la perturbation de Saturne par Jupiter. Mais on peut aussi bien tester la méthode sur une particule dans un puits de potentiel.

Évidemment, il y a deux possibilités : la formule de Trotter ou la formule de Campbell-Hausdorff.

Ou bien des formes raffinées de combinaison des deux adéquates.

L'idée forte est la suivante : t est petit ; faire une théorie au n-ième ordre, conduit à une erreur O(tⁿ ε) ou plus exactement O(tⁿ ε +t² ε²) : on a intérêt à pousser la méthode jusqu'à l'ordre n tel que :

t^(n-2) = ε.

Dans certains cas, dits symétriques, on peut l'améliorer en t^(n-4) = ε.

On peut commencer par tester la méthode sur l'oscillateur harmonique, qui, on le sait, est le test usuel.

On continuera avec le pendule simple.

Cette fois, en coordonnées réduites, A = p²/2 et B = 1 - cos q . Le système est intégrable exactement, via les fonctions de Jacobi, mais nous préférons prendre A = p²/2 + ε q²/2 et B = 1 - cos q - q²/2

L'opérateur A est donc celui d'un oscillateur harmonique, et B joue le rôle de perturbation, si les oscillations sont pendulaires. Dans le cas de tournoiement, le problème de la "séparatrice" ne peut se régler simplement, car l'intégrateur symplectique ne conserve pas rigoureusement l'énergie. Il vaut mieux alors se tourner vers la solution du pendule simple discret.

Quand le système possède une certaine symétrie temporelle, un dernier terme correcteur permet d'atteindre le résultat à O(tⁿ ε + t⁴ ε²). On gagne alors en précision.