Intégrale de Borwein
En mathématiques, une intégrale de Borwein est une intégrale mettant en jeu des produits de sinc(ax), où sinc est la fonction sinus cardinal, définie par sinc(x) = sin(x)/x. Les intégrales de Borwein, découvertes par David Borwein et Jonathan Borwein en 2001, présentent des régularités apparentes qui finissent par cesser. Ainsi,
Ce schéma continue jusqu'à
- .
Cependant, à l'étape suivante, on a l'étrange résultat[1]
Plus généralement, des intégrales similaires ont pour valeur π/2 chaque fois que les nombres 3, 5, ... sont remplacés par des réels positifs dont la somme des inverses est inférieure à 1. Dans l'exemple précédent, 13 + 15 + … + 113 < 1, mais 13 + 15 + … + 115 > 1.
En ajoutant un terme supplémentaire en cos(x) dans le produit, le schéma peut être prolongé :
jusqu'à
Dans ce cas, on a 13 + 15 + … + 1111 < 2, mais 13 + 15 + … + 1113 > 2.
Les preuves de ces schémas ont été établies par des démonstrations intuitives[2]. En particulier, une reformulation en termes de marche aléatoire, couplée à un argument de causalité, éclaire le changement de comportement des intégrales de Borwein, et permet des généralisations à des familles reliées.[3]
Formule générale
Pour une suite de nombres réels non nuls a0, a1, a2,... , on peut associer une intégrale de la forme[4]
Pour établir la formule, on devra considérer des sommes à partir des ak. En particulier, si γ = (γ1, γ2,...,γn) est un n-uplet où chaque terme vaut ±1, alors on écrit bγ = a0 + γ1a1 + γ2a2 + ... + γnan, qui est une variation de la somme alternée, et le produit εγ = γ1γ2...γn = ±1. Avec ces notations, l'intégrale se réécrit :
avec Cn = 1 si , et
- sinon.
Le cas de Borwein correspond à la suite ak = 12k+1.
Pour n = 7 on a a7 = 115, et 13 + 15 + 17 + 19 + 111 + 113 < 1 mais 13 + 15 + 17 + 19 + 111 + 113 + 115 > 1. Ainsi, puisque a0 = 1, on trouve bien
(pour n = 6, et de même pour toutes les intégrales avec n < 7), mais
Notes
- Le site de MathOverflow mentionne ces intégrales (en) comme ayant fait craindre une erreur dans un système de calcul formel, jusqu'à ce que les programmeurs réalisent que le résultat était correct.
- (en) Hanspeter Schmid, « Two curious integrals and a graphic proof », Elemente der Mathematik, vol. 69, no 1, , p. 11–17 (ISSN 0013-6018, DOI 10.4171/EM/239, lire en ligne)
- (en) Satya Majumdar et Emmanuel Trizac, « When random walkers help solving intriguing integrals », Physical Review Letters, vol. 123, , p. 020201 (ISSN 1079-7114, DOI https://doi.org/10.1103, lire en ligne)
- David Borwein et Jonathan M. Borwein, « Some remarkable properties of sinc and related integrals », The Ramanujan Journal, vol. 5, no 1, , p. 73–89 (ISSN 1382-4090, DOI 10.1023/A:1011497229317, Math Reviews 1829810, lire en ligne)
Références
- (en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Borwein integral » (voir la liste des auteurs).
- (en) David Borwein et Jonathan M. Borwein, « Some remarkable properties of sinc and related integrals », The Ramanujan Journal, vol. 5, no 1, , p. 73-89 (DOI 10.1023/A:1011497229317, Math Reviews 1829810, lire en ligne)
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