Instabilité de Rayleigh-Bénard

L'instabilité de Rayleigh-Bénard, ou convection naturelle est une instabilité thermo-convective susceptible de se développer dans un milieu fluide soumis à un gradient de température déstabilisant. Elle se traduit par la formation de structures convectives appelées cellules de Bénard. Ce problème a été étudié expérimentalement par Bénard[1] et théoriquement par Rayleigh[2]^,[alpha 1].

Principe physique

Description du cycle convectif naturel

Soit un fluide contenu entre deux parois parallèles horizontales, soumis à un gradient thermique de sorte que la paroi inférieure soit à une température $T_{1}$ supérieure à la température $T_{0}$ de la paroi supérieure. Sous l'effet du chauffage de la paroi inférieure, les particules fluides situées à proximité de la paroi inférieure voient leur masse volumique décroître et sous l'effet de la poussée d'Archimède, tendent à remonter vers la paroi supérieure. À partir d'un certain seuil du gradient thermique $\Delta T=T_{1}-T_{0}$ , ce mouvement des particules fluides induit une déstabilisation du milieu fluide sous la forme de rouleaux thermo-convectifs aussi appelés cellules de Bénard.

Formulation mathématique

Les équations qui régissent le problème de Rayleigh-Bénard sont:

L'équation de conservation de la masse :

{\vec {\nabla }}\cdot {\vec {v}}=0

L'équation de conservation de la quantité de mouvement, dans laquelle a été faite l'approximation de Boussinesq ( ${\vec {e}}_{z}$ pointant vers le haut) :

\rho _{0}\left({\frac {\partial {\vec {v}}}{\partial t}}+({\vec {v}}.{\vec {\nabla }}){\vec {v}}\right)=-{\vec {\nabla }}P+\rho _{0}\beta g(T-T_{0}){\vec {e}}_{z}+\mu {\vec {\nabla }}^{2}{\vec {v}}

L'équation de la chaleur :

\rho _{0}C_{v}\left({\frac {\partial T}{\partial t}}+{\vec {v}}.{\vec {\nabla }}T\right)=\lambda {\vec {\nabla }}^{2}T

avec pour condition aux limites :

gradient imposé de température $T=T_{1}$ en $z=0$ et $T=T_{0}$ en $z=h$
condition d'adhérence du fluide aux parois ${\vec {v}}=0$ en $z=0$ et $z=h$

Les grandeurs physiques qui interviennent dans ce problème sont:

la masse volumique $\rho _{0}$ du fluide à la température $T_{0}$
le coefficient de dilatation volumique $\beta$
l'accélération de la pesanteur $g$
la viscosité dynamique du fluide $\mu$
la capacité calorifique à volume constant $C_{v}$
la conductivité thermique $\lambda$

Dédimensionnalisation

Sous forme adimensionnée les équations s'écrivent:

Équation de conservation de la masse :

{\vec {\nabla }}.{\vec {v}}=0

Équation de conservation de la quantité de mouvement, dans laquelle a été faite l'approximation de Boussinesq :

{\frac {1}{\mathrm {Pr} }}\left({\frac {\partial {\vec {v}}}{\partial t}}+({\vec {v}}.{\vec {\nabla }}){\vec {v}}\right)=-{\vec {\nabla }}P+\mathrm {Ra} \,T\,{\vec {e}}_{z}+{\vec {\nabla }}^{2}{\vec {v}}

Équation de la chaleur :

{\frac {\partial T}{\partial t}}+{\vec {v}}.{\vec {\nabla }}T=\lambda \nabla ^{2}T

Dans l'équation du mouvement apparaît le nombre de Rayleigh

\mathrm {Ra} ={\frac {\beta gh^{3}(T_{1}-T_{0})}{\nu \kappa }}

où κ est la diffusivité thermique et ν la viscosité cinématique.

Le nombre Ra est proportionnel au gradient de température. C'est le paramètre qui déterminera la stabilité du système.

Stabilité du problème

La stabilité du problème est pilotée par le nombre de Rayleigh Ra. Celui-ci étant proportionnel au gradient de température, plus la température de la plaque inférieure sera élevée plus le nombre de Rayleigh sera grand. Pour des valeurs de Ra suffisamment petites, le système est stable et on retrouve la solution de conduction. Lorsque le nombre de Rayleigh dépasse le seuil critique Ra = 1708 le système devient instable et on observe la formation de structures convectives appelées cellules de Bénard. La valeur du seuil critique tombe à 1101 pour une surface libre[3].

Notes et références

Notes

L'étude théorique de Rayleigh est fondamentale, mais Willard Gibbs a montré par la suite que la convection de Bénard est en fait contrôlée par la diminution de la tension superficielle de l'eau quand la température augmente (effet Marangoni).

Références

H. Bénard, Les tourbillons cellulaires dans une nappe liquide transportant de la chaleur par convection en régime permanent, Annales de chimie et de physique, Série 7(23) :pp62-144, 1901
J. W. Rayleigh, On convection currents in a horizontal layer of fluid, when the higher temperature is on the under side, The London, Edinburgh, and Dublin Philosophical Magazine and Journal of Science, Sixth series, Vol.32-no.192 :pp.529-546, 1916
A. V. Getling, « Rayleigh-Bénard convection », sur Scholarpedia

Articles connexes

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[3] L'étude théorique de Rayleigh est fondamentale, mais Willard Gibbs a montré par la suite que la convection de Bénard est en fait contrôlée par la diminution de la tension superficielle de l'eau quand la température augmente (effet Marangoni).

[1] H. Bénard, Les tourbillons cellulaires dans une nappe liquide transportant de la chaleur par convection en régime permanent, Annales de chimie et de physique, Série 7(23) :pp62-144, 1901

[2] J. W. Rayleigh, On convection currents in a horizontal layer of fluid, when the higher temperature is on the under side, The London, Edinburgh, and Dublin Philosophical Magazine and Journal of Science, Sixth series, Vol.32-no.192 :pp.529-546, 1916

[4] A. V. Getling, « Rayleigh-Bénard convection », sur Scholarpedia