Induction mutuelle

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On considère les courbes ${\displaystyle C_{1}}$ et ${\displaystyle C_{2}}$ parcourues par des courants ${\displaystyle I_{1}}$ et ${\displaystyle I_{2}}$. Le courant ${\displaystyle I_{1}}$ produit dans tout l'espace un champ magnétique ${\displaystyle B_{1}}$. Le flux généré par le champ magnétique ${\displaystyle B_{1}}$ à travers ${\displaystyle C_{2}}$ est noté ${\displaystyle \phi _{12}}$.

${\displaystyle \phi _{12}=\iint _{S_{2}}{\vec {B_{1}}}\cdot {\vec {dS}}}$

En utilisant le potentiel vecteur ${\displaystyle {\vec {A}}}$, on peut ré-écrire la relation précédente :

${\displaystyle \phi _{12}=\iint _{S_{2}}{\vec {B_{1}}}\cdot {\vec {dS}}=\iint _{S_{2}}{\overrightarrow {\mathrm {rot} }}\ {\vec {A}}_{1}\cdot {\vec {dS}}}$

En utilisant le théorème de Stokes, la relation précédente devient :

${\displaystyle \phi _{12}=\iint _{S_{2}}{\overrightarrow {\mathrm {rot} }}\ {\vec {A}}_{1}\cdot {\vec {dS}}=\oint _{C_{2}}{\vec {A}}_{1}\cdot d{\vec {l}}_{2}}$

L'expression du potentiel vecteur généré par un circuit linéique ${\displaystyle C_{1}}$ parcouru par un courant ${\displaystyle I_{1}}$ s'écrit :

${\displaystyle {\overrightarrow {A_{1}}}={\mu _{0} \over 4\pi }\oint _{C_{1}}I_{1}{{\overrightarrow {dl}} \over r_{12}}}$

L'expression finale du flux est :

${\displaystyle \phi _{12}=I_{1}\cdot ({\mu _{0} \over 4\pi }\oint _{c_{2}}\oint _{c_{1}}{{\overrightarrow {dl_{1}}}\cdot {\overrightarrow {dl_{2}}} \over r_{12}})}$

que l'on note : ${\displaystyle \phi _{12}=L_{12}\cdot I_{1}}$ avec ${\displaystyle L_{12}}$ l'induction mutuelle entre le circuit ${\displaystyle C_{1}}$ et le circuit ${\displaystyle C_{2}}$.

${\displaystyle L_{12}={\mu _{0} \over 4\pi }\oint _{c_{2}}\oint _{c_{1}}{{\overrightarrow {dl_{1}}}\cdot {\overrightarrow {dl_{2}}} \over r_{12}}}$

On remarque que ${\displaystyle L_{12}}$ est inchangé par permutation des indices 1 et 2 dans les calculs d'où :

${\displaystyle \phi _{21}=L_{21}I_{2}=L_{12}I_{2}}$

Le champ produit par un courant rectiligne infini se calcule par le théorème d'Ampère. Prenons ${\displaystyle I_{1}}$ suivant l'axe Oz et un cercle de rayon r pour faire : ${\displaystyle \oint _{c}{\vec {B_{1}}}(r)\cdot {\vec {dl}}(r)=B_{\theta }(r)\oint _{c}rd\theta {\vec {e_{\theta }}}\cdot {\vec {e_{\theta }}}=B_{\theta }(r)r\cdot 2\pi ={\mu _{0}}I_{1}}$

On en déduit que :

${\displaystyle {\vec {B_{1}}}(r)=B_{\theta }(r){\vec {e_{\theta }}}={\frac {\mu _{0}I_{1}}{2\pi r}}{\vec {e_{\theta }}}}$

Si on a une spire rectangulaire dont deux côtés de longueur L sont parallèles au courant ${\displaystyle I_{1}}$ et les deux autres perpendiculaires, alors

${\displaystyle \phi _{12}=I_{1}\cdot ({\mu _{0} \over 2\pi }L\oint _{c_{2}}{dr \over r})=I_{1}\cdot ({\mu _{0} \over 2\pi }L\ln {r_{2} \over r_{1}})}$

et on en déduit que ${\displaystyle L_{12}=({\mu _{0} \over 2\pi }L\ln {r_{2} \over r_{1}})}$