Indice de Sobol

En analyse de sensibilité[1]^,[2]^,[3], les indices de Sobol sont des indices de sensibilité d'une variable de sortie à une variable d'entrée. Ils sont nommés d'après le mathématicien russe Ilya Meïérovitch Sobol[4].

Soit un modèle que l'on exprime par une fonction $f$ associant à des variables aléatoires $X i, i \in⟦1, n ⟧$ la variable aléatoire $Y$ . Le $i$ ^ème indice de sensibilité de premier ordre est défini par : $S_{i}={\frac {\mathbf {Var} \left[\mathbf {E} \left[Y|X_{i}\right]\right]}{\mathbf {Var} \left[Y\right]}}$ Il s'agit d'un indice de sensibilité basé sur une décomposition de variance[5]. Les indices de Sobol se généralisent aux ordres supérieurs (ils quantifient alors la variance attribuée à l'interaction entre paramètres) et même dans le cas de paramètres dépendants[6].

Indices de Sobol

Généralité

Premier ordre

$S_{i}={\frac {\mathbf {Var} \left[\mathbf {E} \left[Y|X_{i}\right]\right]}{\mathbf {Var} \left[Y\right]}}$

Ordre total

$ST_{i}=1-{\frac {\mathbf {Var} \left[\mathbf {E} \left[Y|X_{\sim }{i}\right]\right]}{\mathbf {Var} \left[Y\right]}}$

i^ème ordre

Les indices généralisés

Lorsque la sensibilité du modèle doit être faite sur des séries temporelles, on peut utiliser les indices de Sobol généralisés:

$GSI_{i}=\sum _{t=1}^{N}{\frac {\mathbf {Var} \left[Y(t)\right]}{\sum _{t_{2}=1}^{N}\mathbf {Var} \left[Y(t_{2})\right]}}\cdot S_{i}(t)$

Algorithme de calcul

Plusieurs algorithmes ont été présentés par Saltelli [7] pour calculer les indices de premier ordre et d'ordre total.

Notes et références

(en) « Sensitivity analysis », Wikipedia,‎ 1^er octobre 2016 (lire en ligne, consulté le 21 octobre 2016)
(en) Bertrand Iooss et Paul Lemaître, Uncertainty Management in Simulation-Optimization of Complex Systems, Springer US, coll. « Operations Research/Computer Science Interfaces Series », 1^er janvier 2015 (ISBN 9781489975461 et 9781489975478, DOI 10.1007/978-1-4899-7547-8_5, lire en ligne), p. 101–122
Janon, Alexandre, « Analyse de sensibilité et réduction de dimension. Application à l'océanographie », http://www.theses.fr/,‎ 15 novembre 2012 (lire en ligne, consulté le 21 octobre 2016)
I. M Sobol′, « Global sensitivity indices for nonlinear mathematical models and their Monte Carlo estimates », Mathematics and Computers in Simulation, the Second IMACS Seminar on Monte Carlo Methods, vol. 55,‎ 15 février 2001, p. 271–280 (DOI 10.1016/S0378-4754(00)00270-6, lire en ligne, consulté le 21 octobre 2016)
(en) « Variance-based sensitivity analysis », Wikipedia,‎ 9 avril 2016 (lire en ligne, consulté le 21 octobre 2016)
Chastaing, Gaëlle, « Indices de Sobol généralisés par variables dépendantes », http://www.theses.fr/,‎ 23 septembre 2013 (lire en ligne, consulté le 21 octobre 2016)
(en) « Variance based sensitivity analysis of model output. Design and estimator for the total sensitivity index », Computer Physics Communications,‎ 2010 (DOI doi:10.1016/j.cpc.2009.09.018, lire en ligne)

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[1] (en) « Sensitivity analysis », Wikipedia,‎ 1^er octobre 2016 (lire en ligne, consulté le 21 octobre 2016)

[2] (en) Bertrand Iooss et Paul Lemaître, Uncertainty Management in Simulation-Optimization of Complex Systems, Springer US, coll. « Operations Research/Computer Science Interfaces Series », 1^er janvier 2015 (ISBN 9781489975461 et 9781489975478, DOI 10.1007/978-1-4899-7547-8_5, lire en ligne), p. 101–122

[3] Janon, Alexandre, « Analyse de sensibilité et réduction de dimension. Application à l'océanographie », http://www.theses.fr/,‎ 15 novembre 2012 (lire en ligne, consulté le 21 octobre 2016)

[4] I. M Sobol′, « Global sensitivity indices for nonlinear mathematical models and their Monte Carlo estimates », Mathematics and Computers in Simulation, the Second IMACS Seminar on Monte Carlo Methods, vol. 55,‎ 15 février 2001, p. 271–280 (DOI 10.1016/S0378-4754(00)00270-6, lire en ligne, consulté le 21 octobre 2016)

[5] (en) « Variance-based sensitivity analysis », Wikipedia,‎ 9 avril 2016 (lire en ligne, consulté le 21 octobre 2016)

[6] Chastaing, Gaëlle, « Indices de Sobol généralisés par variables dépendantes », http://www.theses.fr/,‎ 23 septembre 2013 (lire en ligne, consulté le 21 octobre 2016)

[7] (en) « Variance based sensitivity analysis of model output. Design and estimator for the total sensitivity index », Computer Physics Communications,‎ 2010 (DOI doi:10.1016/j.cpc.2009.09.018, lire en ligne)