Inégalité torique de Loewner

La plus petite boucle d'un tore.

En 1949, Charles Loewner démontre que chaque métrique d'un tore de dimension 2 (${\displaystyle \mathbb {T} ^{2}}$) satisfait l'inégalité optimale :

${\displaystyle \operatorname {sys} ^{2}\leq {\frac {2}{\sqrt {3}}}\;\operatorname {aire} (\mathbb {T} ^{2}),}$

où sys est sa systole. La constante figurant dans le membre de droite de l'inégalité est la constante d'Hermite ${\displaystyle \gamma _{2}}$ en dimension 2 ; l'inégalité torique de Loewner peut ainsi être réécrite comme suit :

${\displaystyle \operatorname {sys} ^{2}\leq \gamma _{2}\;\operatorname {aire} (\mathbb {T} ^{2}).}$

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