Inégalité de Bernoulli

En analyse, l'inégalité de Bernoulli — nommée d'après Jacques Bernoulli — énonce que :

(1+x)^{n}>1+nx

pour tout entier[1] $n > 1$ et tout réel $x$ non nul et supérieur ou égal à $-1$ .

Démonstration par récurrence

Soit un réel $x\in \left[-1,0\right[\cup \left]0,+\infty \right[$ . Montrons l'inégalité pour tout entier $n > 1$ , par récurrence[2] sur $n$ .

Initialisation : $(1+x)^{2}=1+2x+x^{2}>1+2x$ donc la propriété est vraie pour $n = 2$ .
Hérédité : supposons (hypothèse de récurrence) que $(1+x)^{k}>1+kx$ et montrons que la propriété est vraie au rang suivant $k + 1$ , c'est-à-dire montrons que $(1+x)^{k+1}>1+(k+1)x$ .
En multipliant les deux membres de l'inégalité de l'hypothèse de récurrence par $1 + x$ (qui par hypothèse est positif ou nul) on obtient : $(1+x)^{k+1}=(1+x)^{k}(1+x)\geq (1+kx)(1+x)=1+(k+1)x+kx^{2}>1+(k+1)x$ .
Conclusion : la propriété est vraie au rang $2$ et elle est héréditaire donc vraie pour tout entier $n \geq 2$ .

Généralisation

Pour tout réel $r > 1$ et tout réel $x$ non nul et supérieur ou égal à $-1$ , on a encore :

(1+x)^{r}>1+rx

.

Démonstration par étude des variations de la différence

Cette fois c'est $r$ qu'on fixe (strictement supérieur à $1$ ), et l'on étudie les variations de la fonction $f$ définie sur $D = [-1, +\infty[$ par :

f(x)=(1+x)^{r}-(1+rx)

,

le but étant de montrer que $f (x) > 0$ pour tout $x$ non nul appartenant à $D$ .

Les deux premières dérivées de $f$ sur $]-1, +\infty[$ sont données par :

f'(x)=r\left(1+x\right)^{r-1}-r=r\left(\left(1+x\right)^{r-1}-1\right)

,

f''(x)=r(r-1)\left(1+x\right)^{r-2}>0

donc $f'$ est nulle en $0$ et strictement croissante. Elle est donc strictement négative sur $]-1, 0[$ et strictement positive sur $]0, +\infty[$ .

Par conséquent, la fonction $f$ (continue en $0$ et $-1$ ) est strictement décroissante sur $[-1, 0]$ et strictement croissante sur $[0, +\infty[$ .

Comme elle s'annule en $0$ , on a donc bien $f > 0$ sur $\left[-1,0\right[\cup \left]0,+\infty \right[$ .

Notes et références

(en) Visualisation par une animation interactive, sur demonstrations.wolfram.com
Une méthode plus rapide est d'utiliser la formule du binôme si $x > 0$ ((en) Eric W. Weisstein, « Bernoulli Inequality », sur MathWorld) et la formule de la somme des premiers termes d'une suite géométrique si $-1 \leq x < 0$ ( $n>1+(1+x)+\dots +(1+x)^{n-1}={\frac {1-(1+x)^{n}}{-x}}$ ).

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[1] (en) Visualisation par une animation interactive, sur demonstrations.wolfram.com

[2] Une méthode plus rapide est d'utiliser la formule du binôme si $x > 0$ ((en) Eric W. Weisstein, « Bernoulli Inequality », sur MathWorld) et la formule de la somme des premiers termes d'une suite géométrique si $-1 \leq x < 0$ ( $n>1+(1+x)+\dots +(1+x)^{n-1}={\frac {1-(1+x)^{n}}{-x}}$ ).