Hypotrochoïde

On pose ${\displaystyle q={\dfrac {a}{b}}}$ (donc ${\displaystyle q>1}$) et ${\displaystyle d=kb}$, avec a le rayon du cercle fixe, b celui du cercle roulant (mobile) et d la distance du point au centre du cercle mobile. Un paramétrage (donné en affixe) de l'hypotrochoïde est alors :

${\displaystyle z=(a-b)e^{it}+de^{-i(q-1)t}}$

soit

${\displaystyle qz=a((q-1)e^{it}+ke^{-i(q-1)t})}$

${\displaystyle q(x+iy)=a(q-1)\cos(t)+ia(q-1)\sin(t)+ak\cos((q-1)t)-iak\sin((q-1)t)}$

Par identification des parties réelle et imaginaire on obtient :

${\displaystyle qx=a(q-1)\cos(t)+ka\cos((q-1)t));}$

${\displaystyle qy=a(q-1)\sin(t)-ka\sin((q-1)t));}$

avec ${\displaystyle q={\dfrac {a}{b}}}$ et ${\displaystyle k={\dfrac {d}{b}}}$.

Si on pose ${\displaystyle a=R}$, ${\displaystyle b=r}$ et ${\displaystyle t=\theta }$, on obtient les formules ci-dessous:

${\displaystyle x=(R-r)\cos \theta +d\cos \left({R-r \over r}\theta \right)}$

${\displaystyle y=(R-r)\sin \theta -d\sin \left({R-r \over r}\theta \right)}$

le paramètre d'angle ${\displaystyle \theta }$ variant de 0 à 2π.

Les hypocycloïdes représentent le cas particulier ${\displaystyle d=r}$ (le point fixe est sur le cercle) et les ellipses le cas ${\displaystyle R=2r}$ (voir le théorème de La Hire).

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