Groupe de Lie compact

Un groupe de Lie réel (resp. complexe) compact G est un exemple de groupe compact. En tant que tel, il admet une unique mesure de probabilité invariante par translation à gauche, appelée la mesure de Haar de G. Toute représentation de degré fini du groupe G est équivalente à une représentation unitaire (en). Plus exactement, pour tout espace vectoriel de dimension finie réel (resp. complexe) V et tout morphisme de groupes continu ρ : G → GL(V), il existe une structure euclidienne (resp. hermitienne) sur V invariante par l'action de G : l'application ρ est à valeurs dans le groupe orthogonal (resp. le groupe unitaire) associé.

Pour tout groupe de Lie réel connexe G, toute structure euclidienne sur l'espace tangent ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ de G en l'élément neutre induit par transport des structures une unique métrique riemannienne sur G invariante par translation à gauche. Si le groupe n'est pas commutatif, cette métrique n'a aucune raison d'être invariante par translation à droite.

Si ${\displaystyle m_{g}}$ et ${\displaystyle d_{g}}$ sont les multiplications à gauche et à droite par g et par g⁻¹, par définition, la différentielle en l'élément neutre de ${\displaystyle m_{g}d_{g}}$ est ${\displaystyle ad(g)}$. Via la correspondance précédente, les métriques riemanniennes biinvariantes sur G correspondent exactement aux structures euclidiennes sur ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ invariantes par la représentation adjointe.

L'existence d'une structure euclidienne invariante par la représentation adjointe découle précisément des considérations générales sur les représentations.

Pour une telle métrique riemannienne, les multiplications à gauche et à droite sont des isométries riemanniennes. Les sous-groupes à un paramètres sont les géodésiques de G passant par l'élément neutre. Comme G est compact, le théorème de Hopf-Rinow implique l'existence d'une géodésique de l'élément neutre à n'importe quel élément de G. Ainsi :

L'application exponentielle est surjective.

Remarquons qu'un groupe de Lie connexe est divisible si (et seulement si[1] !) son application exponentielle est surjective.