Groupe de Galois absolu

Ce groupe est unique à isomorphisme près car les clôtures séparables de $K$ sont $K$ -isomorphes entre elles. Il a une structure naturelle de groupe profini.

Une autre notion liée est celle de pro-p-groupe de Galois absolu, pour p un nombre premier. Il s'agit du plus grand pro-p (en)-quotient du groupe de Galois absolu, ou encore, par la correspondance de Galois, du groupe de Galois de la pro-p-clôture séparable.

Exemples

Un corps séparablement clos a un groupe de Galois absolu trivial.
La clôture algébrique du corps ℝ des nombres réels est le corps ℂ des nombres complexes ; le groupe de Galois absolu de ℝ est d'ordre 2, donc isomorphe à ℤ/2ℤ (ℂ/ℝ est ainsi quadratique et cyclique).
Le groupe de Galois absolu d'un corps fini est isomorphe au complété profini $\scriptstyle {\widehat {\mathbb {Z} }}$ de ℤ. C'est un groupe procylique.
Le pro-p-groupe de Galois absolu d'une extension finie $K$ du corps des nombres p-adiques ℚ_p est un pro-p-groupe libre à $\scriptstyle [K:\mathbb {Q} _{p}]+1$ générateurs, si $K$ ne contient pas les racines p-èmes de l'unité, et si $K$ les contient, il s'agit d'un pro-p-groupe à $\scriptstyle [K:\mathbb {Q} _{p}]+2$ générateurs, et une seule relation, et plus précisément d'un groupe de Demushkin (en).

(en) Jürgen Neukirch, Alexander Schmidt (de) et Kay Wingberg (de), Cohomology of number fields [détail de l’édition]

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