Groupe automatique

En mathématiques, un groupe automatique est un groupe décrit à l'aide d'automates finis[1]. L'intérêt des groupes automatiques est que le problème du mot est décidable. C'est un cas particulier d'une structure automatique.

Définition

Soit G un groupe qui admet un ensemble fini A d'éléments générateurs. Le groupe G est automatique par rapport à A s'il existe un automate M sur l'alphabet A et des automates Mx sur l'alphabet A2 pour tout x dans A ∪{e} où e est l'élément neutre tels que :

  • le langage de l'automate M accepte au moins un représentant pour chaque élément du groupe. Plus précisément, pour tout élément g de G, l'automate reconnaît au moins un mot fini sur A qui représente l'élément g ;
  • L'automate Ma accepte une paire (w1, w2) si et seulement si w1a = w2 dans G et w1 et w2 sont acceptés par M.

Exemples

Les groupes finis sont automatiques.

Algorithme quadratique pour le problème du mot

Étant donné un groupe G, le problème du mot consiste à déterminer algorithmiquement si deux mots w1, w2 représentent le même élément dans le groupe. Étant donné un groupe automatique G, il existe un algorithme en temps quadratique (en les longueurs des deux mots à tester) qui résout le problème du mot. On peut montrer qu'il existe un algorithme qui prend en entrée un mot w sur A et qui calcule en temps O(|w|2) un mot de L(M) qui représente le même élément. Ainsi, l'algorithme pour résoudre le problème du mot fonctionne comme suit :

  • calculer w1' dans L(M) qui représente w1 ;
  • calculer w2' dans L(M) qui représente w2 ;
  • Tester si (w1', w2') est dans L(Me).

Notes et références
  1. (en) David B. A. Epstein, M. S. Paterson, J. W. Cannon et D. F. Holt, Word Processing in Groups, Boston/London, A. K. Peters, Ltd., , 330 p. (ISBN 0-86720-244-0, lire en ligne)

Bibliographie
  • Benjamin Blanchette, Christian Choffrut et Christophe Reutenauer, « Quasi-automatic semigroups », Theoretical Computer Science, vol. 777,‎ , p. 111–120 (DOI 10.1016/j.tcs.2019.01.002).
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  • Andrew J. Duncan, Edmund Frederick Robertson et Nikola Ruškuc, « Automatic monoids and change of generators », Mathematical Proceedings of the Cambridge Philosophical Society, vol. 127, no 3,‎ , p. 403–409 (Math Reviews 1713118, zbMATH 0941.20065).
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  • Pedro V. Silva et Benjamin Steinberg, « A geometric characterization of automatic monoids », Quarterly Journal of Mathematics (en), vol. 55, no 3,‎ , p. 333-356 (zbMATH 1076.20041).
  • Lin Wei, Xiaofeng Wang et Li Deng, « Geometric properties and asynchronously automatic semigroups », Southeast Asian Bulletin of Mathematics, vol. 34, no 6,‎ , p. 1043–1054 (zbMATH 1224.20081).

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