Graphe des cycles

Un cycle est l'ensemble des puissances d'un élément donné du groupe ; aⁿ, la n-ième puissance de l'élément a, est définie comme le produit de a par lui-même n fois (avec les conventions a¹ = a et a⁰ = e, l'élément neutre du groupe). On dit que l'élément "a" engendre le cycle. Si le groupe est fini, une des puissances (non nulle) doit être l'élément neutre, e ; la plus petite de ces puissances est l’ordre du cycle, c'est-à-dire le nombre d'éléments distincts qu'il contient. Le graphe des cycles est une représentation des cycles par un ensemble de polygones, chaque sommet représentant un élément, et les côtés (reliant les puissances successives) indiquant que tous les éléments du polygone appartiennent au même cycle.

Les cycles peuvent se chevaucher, ou n'avoir que l'élément neutre en commun. Le graphe ne représente que les cycles intéressants.

Si par exemple a engendre un cycle d'ordre 6 (on dit plus simplement que a est d'ordre 6), alors a⁶ = e. L'ensemble des puissances de a², {a², a⁴, e} est alors aussi un cycle, mais cela n'apporte aucune information nouvelle. De même, a⁵ engendre le même cycle que a.

Ainsi, il suffit de considérer les cycles primitifs, ceux qui ne sont sous-ensembles d'aucun autre cycle. Chacun d'eux est engendré par un élément primitif, a. Le graphe des cycles est obtenu en représentant chaque élément du groupe par un sommet, en reliant e à chaque élément primitif a, puis a à a², … , a^n–1 à aⁿ… jusqu'à revenir à e.

Techniquement, la description précédente amènerait les éléments d'ordre 2 (tels que a² = e) à être reliés à e par deux arêtes, mais il est conventionnel de n'en dessiner qu'une.

Comme exemple de graphe des cycles, considérons le groupe diédral D₈. La table de multiplication de ce groupe est donnée à gauche, et le graphe des cycles est représenté à droite, e étant l'élément neutre.

Graphe des cycles du groupe diédral D₈.

Graphe des cycles du groupe des quaternions Q₈.

o	e	b	a	a²	a³	ab	a²b	a³b
e	e	b	a	a²	a³	ab	a²b	a³b
b	b	e	a³b	a²b	ab	a³	a²	a
a	a	ab	a²	a³	e	a²b	a³b	b
a²	a²	a²b	a³	e	a	a³b	b	ab
a³	a³	a³b	e	a	a²	b	ab	a²b
ab	ab	a	b	a³b	a²b	e	a³	a²
a²b	a²b	a²	ab	b	a³b	a	e	a³
a³b	a³b	a³	a²b	ab	b	a²	a	e

Ce groupe a donc pour générateurs a et b avec comme relations : a⁴ = e, b² = e et ba = a^-1b.

On remarque le cycle e, a, a², a³, qui est d'ailleurs aussi un cycle dans l'autre direction : (a³)² = a² , (a³)³ = a  et (a³)⁴ = e. Ce comportement est général : un cycle peut toujours être parcouru dans les deux sens.

Des ambiguïtés peuvent survenir lorsque deux cycles partagent un élément (autre que l'élément neutre). Considérons par exemple le groupe des quaternions, dont le graphe des cycles est représenté à droite (avec 1 comme élément neutre). Chacun des éléments autres que 1 et –1, représentés dans la rangée centrale, a pour carré –1. Dans ce cas on peut utiliser plusieurs couleurs pour distinguer les cycles, ou choisir une représentation symétrique.

Deux groupes distincts peuvent avoir le même graphe des cycles, et ne peuvent être distingués que par leur table de multiplication, ou en marquant les sommets du graphe à l'aide des générateurs du groupe. Le plus petit ordre pour lequel cela peut se produire est 16 ; le produit direct Z₈ × Z₂ et le produit semi-direct Z₈ ⋊ Z₂ ont même graphe, comme on le voit ci-dessous.

Graphe des cycles du produit direct Z₈ × Z₂.

Graphe des cycles du produit semi-direct Z₈ ⋊ Z₂.

Le symétrique d'un élément x est identifiable dans le graphe des cycles : c'est l'élément d'un cycle contenant x dont la distance à e est la même (en parcourant le cycle dans la direction opposée).

Certains types de groupes ont des graphes caractéristiques :

• Les groupes cycliques Z_n forment un seul cycle, représenté par un polygone à n côtés.

Z1	Z2	Z3	Z4	Z5	Z6	Z7	Z8

• Quand n est un nombre premier, les groupes de la forme (Z_n)^m possèdent (n^m – 1)/(n – 1) cycles à n éléments, n'ayant que l'élément neutre en commun.

Z2²	Z2³	Z24	Z3²

• Les groupes diédraux D_2n ont un cycle d'ordre n et n cycles d'ordre 2.

D2	D4	D6	D8	D10	D12	D14

• (en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Cycle graph (algebra) » (voir la liste des auteurs).
• (en) Daniel Shanks, Solved and Unsolved Problems in Number Theory, Providence, AMS Chelsea, 2001, 5^e éd. (1^re éd. 1962) (ISBN 978-0-8218-2824-3, lire en ligne)