Gnomonique

Les coordonnées cartésiennes du Soleil dans le système de coordonnées horizontales peuvent être déterminées en effectuant des changements de repère successifs.

Une matrice de passage d'un repère B à un repère B' permet de calculer les coordonnées, d'un point ou d'un vecteur, dans le repère B' connaissant ses coordonnées dans le repère B.

Exemple:

Soit le changement de repère par rotation d'un angle α autour de l'axe Z. Les coordonnées dans le nouveau repère se calculent à partir des coordonnées dans l'ancien repère :

${\displaystyle {\begin{pmatrix}\mathrm {X} '\\\mathrm {Y} '\\\mathrm {Z} '\\\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}\cos \alpha &\sin \alpha &0\\-\sin \alpha &\cos \alpha &0\\0&0&1\\\end{pmatrix}}\cdot {\begin{pmatrix}\mathrm {X} \\\mathrm {Y} \\\mathrm {Z} \\\end{pmatrix}}}$

De même pour une rotation d'un angle α autour de l'axe X on aura :

${\displaystyle {\begin{pmatrix}\mathrm {X} '\\\mathrm {Y} '\\\mathrm {Z} '\\\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}1&0&0\\0&\cos \alpha &\sin \alpha \\0&-\sin \alpha &\cos \alpha \\\end{pmatrix}}\cdot {\begin{pmatrix}\mathrm {X} \\\mathrm {Y} \\\mathrm {Z} \\\end{pmatrix}}}$

Et pour une rotation d'un angle α autour de l'axe Y on aura :

${\displaystyle {\begin{pmatrix}\mathrm {X} '\\\mathrm {Y} '\\\mathrm {Z} '\\\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}\cos \alpha &0&-\sin \alpha \\0&1&0\\\sin \alpha &0&\cos \alpha \\\end{pmatrix}}\cdot {\begin{pmatrix}\mathrm {X} \\\mathrm {Y} \\\mathrm {Z} \\\end{pmatrix}}}$

Les coordonnées cartésiennes du Soleil dans le système de coordonnées horizontales se calculent en utilisant les matrices de passage :

${\displaystyle {\begin{pmatrix}\mathrm {X} _{h}\\\mathrm {Y} _{h}\\\mathrm {Z} _{h}\\\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}\cos({\frac {\pi }{2}}-\phi )&0&-\sin({\frac {\pi }{2}}-\phi )\\0&1&0\\\sin({\frac {\pi }{2}}-\phi )&0&\cos({\frac {\pi }{2}}-\phi )\\\end{pmatrix}}\cdot {\begin{pmatrix}\cos(LMST)&\sin(LMST)&0\\-\sin(LMST)&\cos(LMST)&0\\0&0&1\\\end{pmatrix}}\cdot {\begin{pmatrix}1&0&0\\0&\cos(-\epsilon )&\sin(-\epsilon )\\0&-\sin(-\epsilon )&\cos(-\epsilon )\\\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}\cos(l_{\odot })\\\sin(l_{\odot })\\0\\\end{pmatrix}}}$

avec:

${\displaystyle \phi }$: Latitude du lieu d'observation

${\displaystyle LMST}$: Temps sidéral moyen local

${\displaystyle \epsilon }$: Inclinaison de l'axe

${\displaystyle l_{\odot }}$: Longitude écliptique du Soleil

Soient ${\displaystyle {\begin{pmatrix}0\\0\\L\\\end{pmatrix}}}$ les coordonnées cartésiennes, dans le repère local, de l'extrémité d'un gnomon vertical de longueur ${\displaystyle L}$.

Les coordonnées de l'ombre de cette extrémité sur le plan horizontal sont obtenues en effectuant sa projection affine parallèlement à la droite passant par ${\displaystyle {\begin{pmatrix}\mathrm {X} _{h}\\\mathrm {Y} _{h}\\\mathrm {Z} _{h}\\\end{pmatrix}}}$ et ${\displaystyle {\begin{pmatrix}0\\0\\L\\\end{pmatrix}}}$.

Les coordonnées cartésiennes du Soleil dans le système de coordonnées lié à un cadran incliné déclinant sont :

• ${\displaystyle {\begin{pmatrix}\mathrm {X} '_{h}\\\mathrm {Y} '_{h}\\\mathrm {Z} '_{h}\\\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}\cos i&0&-\sin i\\0&1&0\\\sin i&0&\cos i\\\end{pmatrix}}\cdot {\begin{pmatrix}\cos(-D)&\sin(-D)&0\\-\sin(-D)&\cos(-D)&0\\0&0&1\\\end{pmatrix}}\cdot {\begin{pmatrix}\mathrm {X} _{h}\\\mathrm {Y} _{h}\\\mathrm {Z} _{h}\\\end{pmatrix}}}$

avec :

D: Déclinaison de la table du cadran

${\displaystyle i}$: Inclinaison du cadran, c'est-à-dire angle de la normale par rapport au zénith

• Gnomon
• Cadran solaire
• Anneau de paysan
• Cadran de berger
• Anneau astronomique ou anneau équinoxial universel
• Histoire de la mesure du temps

• Commission des Cadrans Solaires, de la Société Astronomique de France
• Le Gnomoniste, bulletin de liaison de la Commission des Cadrans solaires du Québec (CCSQ), tous les numéros de 1995 à 2014 disponibles sous forme de fichiers pdf.