Formule de Rodrigues

En mathématiques, la formule de Rodrigues (anciennement appelée formule de Ivory-Jacobi) est une formule impliquant les polynômes de Legendre, indépendamment découverte par Olinde Rodrigues[1], James Ivory[2] et Charles Gustave Jacob Jacobi[3]. Le nom « formule de Rodrigues » a été introduit par Eduard Heine en 1878[4], après que Hermite eut souligné, dès 1865, que Rodrigues a été le premier à la découvrir. Le terme est également utilisé pour décrire des formules similaires pour d'autres polynômes orthogonaux. Richard Askey[5] décrit l'histoire de la formule de Rodrigues en détail.

Énoncé

La formule de Rodrigues s'écrit :

pour les polynômes de Legendre : $P_{n}(x)={1 \over 2^{n}n!}{{\rm {d}}^{n} \over {\rm {d}}x^{n}}\left[(x^{2}-1)^{n}\right]$ ;
pour les polynômes de Laguerre : $L_{n}(x)={\frac {{\rm {e}}^{x}}{n!}}{\frac {{\rm {d}}^{n}}{{\rm {d}}x^{n}}}\left({\rm {e}}^{-x}x^{n}\right)={\frac {1}{n!}}\left({\frac {\rm {d}}{{\rm {d}}x}}-1\right)^{n}x^{n}$ ;
pour les polynômes d'Hermite : $H_{n}(x)=(-1)^{n}{\rm {e}}^{x^{2}}{\frac {{\rm {d}}^{n}}{{\rm {d}}x^{n}}}{\rm {e}}^{-x^{2}}=\left(2x-{\frac {\rm {d}}{{\rm {d}}x}}\right)^{n}\cdot 1$ .

Il existe des formules similaires valables pour beaucoup d'autres suites de fonctions orthogonales issues des équations de Sturm-Liouville ; elles ont aussi pour nom formule de Rodrigues, en particulier lorsque ces fonctions sont polynomiales.

Références

O. Rodrigues, « Mémoire sur l'attraction des sphéroïdes », Correspondance sur l'École impériale Polytechnique, vol. 3,‎ 1814-1816, p. 361-385 (lire en ligne) (thèse de la Faculté de sciences de Paris).
(en) J. Ivory, « On the Figure Requisite to Maintain the Equilibrium of a Homogeneous Fluid Mass That Revolves Upon an Axis », Phil. Trans. R. Soc., vol. 114,‎ 1824, p. 85-150 (DOI 10.1098/rstl.1824.0008).
(de) C. G. J. Jacobi, « Ueber eine besondere Gattung algebraischer Functionen, die aus der Entwicklung der Function (1 – 2xz + z²)^1/2 entstehen », J. reine angew. Math., vol. 2,‎ 1827, p. 223-226 (DOI 10.1515/crll.1827.2.223).
(en) John J. O'Connor et Edmund F. Robertson, « Olinde Rodrigues », dans MacTutor History of Mathematics archive, université de St Andrews (lire en ligne).
(en) R. Askey, Mathematics and social utopias in France : Olinde Rodrigues and his times, vol. 28, Providence, R.I., AMS, coll. « History of Mathematics », 2005, 168 p. (ISBN 978-0-8218-3860-0, lire en ligne), « The 1839 paper on permutations: its relation to the Rodrigues formula and further developments », p. 105-118.

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[1] O. Rodrigues, « Mémoire sur l'attraction des sphéroïdes », Correspondance sur l'École impériale Polytechnique, vol. 3,‎ 1814-1816, p. 361-385 (lire en ligne) (thèse de la Faculté de sciences de Paris).

[2] (en) J. Ivory, « On the Figure Requisite to Maintain the Equilibrium of a Homogeneous Fluid Mass That Revolves Upon an Axis », Phil. Trans. R. Soc., vol. 114,‎ 1824, p. 85-150 (DOI 10.1098/rstl.1824.0008).

[3] (de) C. G. J. Jacobi, « Ueber eine besondere Gattung algebraischer Functionen, die aus der Entwicklung der Function (1 – 2xz + z²)^1/2 entstehen », J. reine angew. Math., vol. 2,‎ 1827, p. 223-226 (DOI 10.1515/crll.1827.2.223).

[4] (en) John J. O'Connor et Edmund F. Robertson, « Olinde Rodrigues », dans MacTutor History of Mathematics archive, université de St Andrews (lire en ligne).

[5] (en) R. Askey, Mathematics and social utopias in France : Olinde Rodrigues and his times, vol. 28, Providence, R.I., AMS, coll. « History of Mathematics », 2005, 168 p. (ISBN 978-0-8218-3860-0, lire en ligne), « The 1839 paper on permutations: its relation to the Rodrigues formula and further developments », p. 105-118.