Forme d'une goutte de pluie

La forme de la goutte est déterminée par un équilibre entre la tension de surface qui tend à conserver une forme sphérique et la résistance de l'air. Cette dernière dépend de la vitesse de chute de la goutte. Prédire la forme de la goutte consiste à déterminer sa vitesse et la force de friction dans l'air puis à en déduire sa déformation.

La goutte, initialement sphérique de rayon ${\displaystyle R}$, chute sous l'effet de son poids ${\displaystyle \rho _{\rm {liq}}\,g\,R^{3}}$ et est ralentie par la friction de l'air.

La friction de l'air est inertielle, avec une pression de l'ordre de ${\displaystyle \rho _{\rm {air}}\,V^{2}}$ et donc une force de l'ordre de ${\displaystyle \rho _{\rm {air}}\,V^{2}\,R^{2}}$.

Sous l'effet de la friction de l'air, la goutte se déforme. Une variation de courbure ${\displaystyle C}$ d'une extrémité à l'autre de la goutte, du fait de la tension superficielle correspond à un écart de pression ${\displaystyle \Delta p=\gamma \,C}$ (cf Pression de Laplace).

Le nombre sans dimension pertinent dans ce problème est le nombre de Weber qui compare les effets inertiels aux effets de tension de surface.

Dans le référentiel de l'air, l'accélération de la goutte résulte d'une part de son poids, d'autre part de la friction de l'air :

${\displaystyle \rho _{\rm {liq}}\,R^{3}{\frac {{\rm {d}}V}{{\rm {d}}t}}=\rho _{\rm {liq}}\,g\,R^{3}-\rho _{\rm {air}}\,V^{2}\,R^{2}}$

Autrement dit :

${\displaystyle \rho _{\rm {liq}}\,R^{3}\,\left(g-{\frac {{\rm {d}}V}{{\rm {d}}t}}\right)=\rho _{\rm {air}}\,V^{2}\,R^{2}}$

Elle atteint donc une vitesse terminale

${\displaystyle V_{\infty }\simeq {\sqrt {{\frac {\rho _{\rm {liq}}}{\rho _{\rm {air}}}}\,g\,R}}}$

au bout d'un temps

${\displaystyle T_{\infty }\simeq {\sqrt {\frac {\rho _{\rm {liq}}\,R}{\rho _{\rm {air}}\,g}}}}$

Dans le référentiel de la goutte, l'accélération de la gravité est diminuée de l'accélération propre de la goutte. L'écart correspondant de pression hydrostatique d'une extrémité à l'autre de la goutte vaut donc :

${\displaystyle \Delta p=\rho _{\rm {liq}}\,\left(g-{\frac {{\rm {d}}V}{{\rm {d}}t}}\right)\,R}$

À cause de la pression de Laplace, cet écart de pression correspond à un écart de courbure, comme il a été dit (${\displaystyle \Delta p=\gamma \,C}$).

Des équations ci-dessus, il résulte que tout au cours du temps :

${\displaystyle \gamma \,C=\rho _{\rm {air}}\,V^{2}}$

Cette équation donne la déformation de la goutte par compétition entre les effets de tension superficielle et les effets de frottement dans l'air. Ainsi, une forte déformation de la goutte est atteinte lorsque ${\displaystyle C\simeq 1/R}$. En réalité, cela est vrai uniquement en l'absence d'oscillations de la goutte, comme nous verrons plus loin.

Dans le régime de chute libre, lorsque la goutte a atteint son régime de vitesse terminale, cette équation se réécrit :

${\displaystyle \gamma \,C=\rho _{\rm {liquide}}\,R\,g}$

Si on considère que la goutte est déformée à partir du moment où la courbure est de l'ordre de ${\displaystyle 1/R}$, cela donne une taille caractéristique de la goutte en dessous de laquelle elle reste sphérique :

${\displaystyle R_{c}={\sqrt {\frac {\gamma }{\rho g}}}}$

Cette longueur est, un peu fortuitement, la longueur capillaire. Par conséquent, une goutte de pluie qui fait moins de 3 mm de diamètre (longueur capillaire de l'eau) aura une forme complètement sphérique. Une goutte plus grosse pourra prendre une forme plus étrange (cacahuète, parachute...) mais l'air finira par s'engouffrer à l'intérieur et la goutte se déstabilisera en plusieurs gouttelettes de taille inférieure à 3 mm.

Quand la goutte touche le sol ou une surface horizontale, elle s’aplatit et éventuellement éclate ou rebondit en créant de minuscules gouttes d'aérosols, facilement inhalées et qui seraient responsables de l'odeur développée par certaines pluies et éventuellement de la libération de virus et bactéries à partir du sol ou de l'air[1].