Formalisme de Jones

Dans sa publication originale[1], Jones considère le cas d'une onde électromagnétique plane et monochromatique complètement polarisée et définit l'état de la lumière en un point à partir du vecteur complexe

${\displaystyle {\begin{pmatrix}E_{x}(t)\\E_{y}(t)\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}E_{x}^{(0)}\exp[i(-\omega t+\phi _{x})]\\E_{y}^{(0)}\exp[i(-\omega t+\phi _{y})]\end{pmatrix}},}$

où ${\displaystyle E_{x}(t)}$ et ${\displaystyle E_{y}(t)}$ sont les composantes du champ électrique de l'onde selon les axes x et y. Cependant, les paramètres les plus utiles pour décrire l'état de polarisation sont les différences de phase ${\displaystyle \phi _{y}-\phi _{x}}$ et le rapport ${\displaystyle E_{x}^{(0)}/E_{y}^{(0)}}$. Habituellement, on choisit donc un point qui sert de référence d'intensité et de phase et on note

${\displaystyle {\begin{pmatrix}E_{x}(t)\\E_{y}(t)\end{pmatrix}}=E^{(0)}\exp[i(-\omega t+\phi _{x})]{\begin{pmatrix}V_{x}\\V_{y}\end{pmatrix}},}$

où le vecteur de Jones est défini par

${\displaystyle V={\begin{pmatrix}V_{x}\\V_{y}\end{pmatrix}},}$

en convenant que ${\displaystyle V_{x}}$ est réel et que le vecteur ${\displaystyle V}$ est de norme 1 au point de référence. Le point de référence est généralement implicitement pris à l'entrée du système, mais est surtout important lorsqu'il y a absorption de l'onde ou interférence entre plusieurs ondes.

Exemples de vecteurs de Jones normés

Polarisation	Vecteur de Jones correspondant	Notation sous forme d'un ket[2]	Représentation
Rectiligne selon l'axe x	${\displaystyle {\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}}}$	${\displaystyle |H\rangle }$
Rectiligne selon l'axe y	${\displaystyle {\begin{pmatrix}0\\1\end{pmatrix}}}$	${\displaystyle |V\rangle }$
Rectiligne selon un axe à 45° par rapport à l'axe x	${\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {2}}}{\begin{pmatrix}1\\1\end{pmatrix}}}$	${\displaystyle |D\rangle ={\frac {1}{\sqrt {2}}}(|H\rangle +|V\rangle )}$
Circulaire droite	${\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {2}}}{\begin{pmatrix}1\\-i\end{pmatrix}}}$	${\displaystyle |R\rangle ={\frac {1}{\sqrt {2}}}(|H\rangle -i|V\rangle )}$
Circulaire gauche	${\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {2}}}{\begin{pmatrix}1\\i\end{pmatrix}}}$	${\displaystyle |L\rangle ={\frac {1}{\sqrt {2}}}(|H\rangle +i|V\rangle )}$

Formellement, le vecteur de Jones est un vecteur de ℂ², identique au vecteur d'état utilisé pour la description d'un système à deux niveaux en mécanique quantique. Cette analogie vient du fait que le photon peut avoir deux états d'hélicité, et représente donc un système à deux niveaux une fois que son vecteur d'onde est choisi. On peut ainsi tisser des liens entre les deux formalismes, ce qui justifie l'utilisation de la notation bra-ket couramment faite en optique quantique pour représenter l'état de polarisation de la lumière. Le tableau ci-dessous détaille les correspondances entre les deux formalismes

Exemples de matrices de Jones

Système optique	Matrice de Jones correspondante
Polariseur avec axe horizontal	${\displaystyle {\begin{pmatrix}1&0\\0&0\end{pmatrix}}}$
Polariseur avec axe vertical	${\displaystyle {\begin{pmatrix}0&0\\0&1\end{pmatrix}}}$
Polariseur avec axe incliné à ${\displaystyle \pm }$45°	${\displaystyle {\frac {1}{2}}{\begin{pmatrix}1&\pm 1\\\pm 1&1\end{pmatrix}}}$
Polariseur incliné d'un angle ${\displaystyle \varphi }$	${\displaystyle {\begin{pmatrix}\cos ^{2}\varphi &\cos \varphi \sin \varphi \\\sin \varphi \cos \varphi &\sin ^{2}\varphi \end{pmatrix}}}$
Polariseur circulaire droite	${\displaystyle {\frac {1}{2}}{\begin{pmatrix}1&-i\\i&1\end{pmatrix}}}$
Polariseur circulaire gauche	${\displaystyle {\frac {1}{2}}{\begin{pmatrix}1&i\\-i&1\end{pmatrix}}}$
Lame demi-onde avec l'axe rapide horizontal	${\displaystyle {\begin{pmatrix}-i&0\\0&i\end{pmatrix}}}$
Lame quart d'onde avec axe rapide horizontal	${\displaystyle e^{-i\pi /4}{\begin{pmatrix}1&0\\0&i\end{pmatrix}}}$

Si un système optique est tourné autour de l'axe optique d'un angle ${\displaystyle \theta }$, la matrice de Jones pour le système tourné ${\displaystyle M(\theta )}$ est obtenue à partir de la matrice du système non tourné par la transformation :

${\displaystyle M(\theta )=R(\theta )\,M\,R(-\theta )}$ ,

où ${\displaystyle R(\theta )={\begin{pmatrix}\cos \theta &-\sin \theta \\\sin \theta &\cos \theta \end{pmatrix}}}$ .

• (fr) Document présentant le formalisme de Jones, et application à l'interférométrie