Fonction symétrique

Une fonction ${\displaystyle f(x_{1},\ldots ,x_{n})}$ en n variables est symétrique si pour toute permutation s de l'ensemble d'indices {1, … ,n}, l'égalité suivante est vérifiée :

${\displaystyle f(x_{1},\dots ,x_{n})=f(x_{s(1)},\dots ,x_{s(n)}).}$

Pour n = 1, toute fonction est symétrique. Pour n = 2, la fonction ${\displaystyle (x,y)\mapsto \mathrm {e} ^{xy}}$ est symétrique, alors que la fonction ${\displaystyle x\operatorname {e} ^{y}}$ ne l'est pas.

Une équation ${\displaystyle f(x_{1},\ldots ,x_{n})=0}$ est une équation symétrique lorsque la fonction ${\displaystyle f(x_{1},\ldots ,x_{n})}$ est symétrique.

Les fonctions

${\displaystyle f(x_{1},x_{2})=x_{1}+x_{2}}$   et   ${\displaystyle f(x_{1},x_{2})=x_{1}x_{2}}$

sont symétriques. Le discriminant en trois variables

${\displaystyle f(x_{1},x_{2},x_{3})=(x_{1}-x_{2})^{2}(x_{1}-x_{3})^{2}(x_{2}-x_{3})^{2}}$

est aussi symétrique. Un exemple de fonction symétrique, toujours en trois variables, qui n'est pas un polynôme est

${\displaystyle f(x_{1},x_{2},x_{3})=\max\{|x_{1}-x_{2}|,|x_{1}-x_{3}|,|x_{2}-x_{3}|\}}$.

Pour vérifier qu'une fonction est symétrique, il n'est pas nécessaire de tester qu'elle est invariante pour chacune des n! permutations de ses arguments. Il suffit de choisir un ensemble de permutations qui engendre le groupe symétrique, et l'on a plusieurs choix pour de tels ensembles.

Lorsque les fonctions sont à valeurs réelles ou complexes, les fonctions symétriques forment une sous-algèbre de l'algèbre des fonctions à n variables, c'est-à-dire :

• la somme de deux fonctions symétriques est encore une fonction symétrique ;
• le produit de deux fonctions symétriques est encore une fonction symétrique.

Toute fraction rationnelle symétrique (sur un corps commutatif) est le quotient de deux polynômes symétriques.

Sur un corps de caractéristique 0, la symétrisation est la sommation d'une fonction sur toutes les permutations possibles de variables, pondérée par n!. C'est l'expression

${\displaystyle Sf(x_{1},\dotsc ,x_{n})={\frac {1}{n!}}\sum _{s\in S_{n}}f(x_{s(1)},\dotsc ,x_{s(n)})}$.

Par construction, la fonction ${\displaystyle Sf}$ est symétrique. L'opérateur de symétrisation ${\displaystyle S}$ est une projection de l'espace des fonctions sur le sous-espace des fonctions symétriques.

Le théorème fondamental des polynômes symétriques, ou théorème de Newton, affirme que tout polynôme symétrique est un polynôme en les polynômes symétriques élémentaires ; il s'étend aux séries formelles[1]. Des résultats analogues sont valables pour des fonctions continues, des fonctions holomorphes et des fonctions lisses (fonctions ${\displaystyle C^{\infty }}$). On a

${\displaystyle f(x_{1},\ldots ,x_{n})=g(\sigma _{1}(x_{1},\ldots ,x_{n}),\ldots ,\sigma _{n}(x_{1},\ldots ,x_{n}))}$,

où les ${\displaystyle \sigma _{i}}$ sont les fonctions symétriques élémentaires[2].

Plus généralement, soit ${\displaystyle G}$ un groupe compact opérant linéairement sur ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$, et soient ${\displaystyle \rho _{1},\ldots ,\rho _{m}}$ des opérateurs homogènes générateurs de l'anneau des invariants ${\displaystyle \mathbb {R} [x_{1},\dotsc ,x_{n}]^{G}}$. Soit ${\displaystyle \rho$ :\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{m}} l'application ${\displaystyle x\mapsto (\rho _{1}(x),\dotsc ,\rho _{m}(x))}$ correspondante. Alors l'application

${\displaystyle \rho ^{*}:C^{\infty }(\mathbb {R} ^{m})\to C^{\infty }(\mathbb {R} ^{n})^{G}}$

est surjective[3], ce qui est le théorème fondamental pour les fonctions lisses invariantes. Ce résultat est basé sur le théorème de préparation de Malgrange, qui est un analogue ${\displaystyle C^{\infty }}$ du théorème de préparation de Weierstrass.