Fonction de Mertens

En théorie des nombres, la fonction de Mertens est

M(n)=\sum _{1\leq k\leq n}\mu (k)

où $μ$ est la fonction de Möbius.

Moins formellement, $M (n)$ est le nombre d'entiers sans facteur carré inférieurs ou égaux à $n$ et dont le nombre de facteurs premiers est pair, moins le nombre d'entiers sans facteur carré inférieurs ou égaux à $n$ et dont le nombre de facteurs premiers est impair.

Croissance

Puisque la fonction de Möbius ne prend que les valeurs –1, 0 et +1, il est évident qu'il n'existe pas de x tel que |M(x)| > x. La conjecture de Mertens (1897) va même plus loin, énonçant qu'il n'existerait pas de x où la valeur absolue de la fonction de Mertens excède la racine carrée de x.

Andrew Odlyzko et Herman te Riele ont montré en 1985 que cette conjecture était fausse[1]. Leur preuve ne produisait pas un contre-exemple explicite, mais on sait aujourd'hui que le plus petit contre-exemple est plus grand[2] que 10¹⁴ et plus petit[3] que exp(1,59.10⁴⁰).

Néanmoins, l'hypothèse de Riemann est équivalente à une conjecture plus faible sur la croissance de M(x), explicitement : pour tout ε >0, M(x) = O(x^{¹⁄₂ + ε}), où O désigne la notation de Landau. Puisque les pics de M croissent au moins aussi rapidement que la racine carrée de $x$ , ceci place une limite plutôt serrée sur le taux de croissance.

Représentations intégrales

En utilisant le produit eulérien, on trouve que

{\frac {1}{\zeta (s)}}=\prod _{p}(1-p^{-s})=\sum _{n=1}^{\infty }\mu (n)n^{-s}

où $ζ$ est la fonction zêta de Riemann et le produit pris sur les nombres premiers. Alors, en utilisant cette série de Dirichlet avec la formule de Perron, on obtient :

{\frac {1}{2\pi i}}\oint _{C}\mathrm {d} s{\frac {x^{s}}{s\zeta (s)}}=M(x)

où $C$ est une courbe fermée encerclant toutes les racines de $ζ$ .

Inversement, on a la transformée de Mellin

{\frac {1}{\zeta (s)}}=s\int _{1}^{\infty }{\frac {M(x)}{x^{s+1}}}~\mathrm {d} x

qui reste valable pour Re(s) > 1.

Une bonne évaluation, au moins asymptotiquement, serait d'obtenir, par l'algorithme du gradient, une inégalité :

\oint _{C}\mathrm {d} sF(s)e^{st}\sim M(e^{t}).

Calcul

La fonction de Mertens a été calculée pour un intervalle de plus en plus grand de n.

Personne	Année	Limite
Mertens	1897	10⁴
von Sterneck	1897	1,5 × 10⁵
von Sterneck	1901	5 × 10⁵
von Sterneck	1912	5 × 10⁶
Neubauer	1963	10⁸
Cohen et Dress	1979	7,8 × 10⁹
Dress	1993	10¹²
Lioen et van de Lune	1994	10¹³
Kotnik et van de Lune	2003	10¹⁴
Hurst	2016	10¹⁶

Notes et références

(en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Mertens function » (voir la liste des auteurs).

(en) A. Odlyzko et H. J. J. te Riele, « Disproof of the Mertens conjecture », J. reine angew. Math., vol. 357,‎ 1985, p. 138-160.
(en) T. Kotnik et J. van de Lune, « On the order of the Mertens function », Experimental Mathematics, vol. 13,‎ 2004), p. 473-481 (lire en ligne [PDF]).
(en) T. Kotnik et Herman te Riele, « The Mertens Conjecture Revisited », dans Proceedings of the 7th Algorithmic Number Theory Symposium, coll. « Lecture Notes in Computer Science » (n^o 4 076), 2006, p. 156-167.

Liens externes

(en) Les valeurs de la fonction de Mertens pour les 50 premiers n sont données par suite A002321 de l'OEIS
(en) Eric W. Weisstein, « Mertens Conjecture », sur MathWorld

Arithmétique et théorie des nombres

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[1] (en) A. Odlyzko et H. J. J. te Riele, « Disproof of the Mertens conjecture », J. reine angew. Math., vol. 357,‎ 1985, p. 138-160.

[2] (en) T. Kotnik et J. van de Lune, « On the order of the Mertens function », Experimental Mathematics, vol. 13,‎ 2004), p. 473-481 (lire en ligne [PDF]).

[3] (en) T. Kotnik et Herman te Riele, « The Mertens Conjecture Revisited », dans Proceedings of the 7th Algorithmic Number Theory Symposium, coll. « Lecture Notes in Computer Science » (n^o 4 076), 2006, p. 156-167.