File M/M/1

En théorie des files d'attente, une file M/M/1 est un type de file d'attente classique. Le terme M/M/1 utilise la notation de Kendall, et signifie que les travaux à effectuer (ou les clients) arrivent à un intervalle qui suit une loi exponentielle, sont mis en attente dans une file et sont traités dans l'ordre d'arrivée, selon une loi elle aussi exponentielle.

Une file M/M/1.

C'est l'une des files d'attente les plus élémentaires.

Modélisation

La file M/M/1 est un exemple de processus de Markov à temps continu. Une file M/M/1 peut être vue comme un processus stochastique dont l'espace d'états est le nombre de clients dans le système (en attente ou en train d'être traités).

Les clients arrivent selon une loi exponentielle de taux λ, changeant l'état du système de i à i + 1.
Le taux de service suit une loi exponentielle de paramètre μ.
Un serveur traite les clients un à un selon le mode premier arrivé, premier servi. Quand le service est fini, les clients quittent le système et le processus passe de l'état i à l'état i - 1.

La chaîne sous-jacente est la suivante[1]^,[2] :

Et la matrice de taux de transition est :

Q={\begin{pmatrix}-\lambda &\lambda \\\mu &-(\mu +\lambda )&\lambda \\&\mu &-(\mu +\lambda )&\lambda \\&&\mu &-(\mu +\lambda )&\lambda &\\&&&&\ddots \end{pmatrix}}

Résultats

De nombreuses quantités peuvent être calculées explicitement.

Stabilité et régime stationnaire

La file est stable si et seulement si le taux d'arrivée est strictement plus petit que le taux de départ[1], i.e. $\lambda <\mu$ . On pose : $\rho ={\frac {\lambda }{\mu }}$ .

Le nombre de clients dans le système pendant le régime stationnaire suit une loi géométrique. Plus précisément, la probabilité d'être dans l'état i, c'est-à-dire d'avoir i client dans le système est[1] : ${\textstyle \pi _{i}=(1-\rho )\cdot \rho ^{i}}$ , et le nombre moyen de client est ${\frac {\rho }{1-\rho }}$ .

Notes et références

(en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « M/M/1 queue » (voir la liste des auteurs).

Frédéric Sur, « Recherche opérationnelle : Files d'attente 1 », sur Mines de Nancy, 2013.
(en) Chuan Shi, Stanley Gershwin, Duane Boning, « Introduction to Manufacturing Systems : M/M/1 Queue lecture notes », sur MIT Opencourseware.

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[sur-1] Frédéric Sur, « Recherche opérationnelle : Files d'attente 1 », sur Mines de Nancy, 2013.

[2] (en) Chuan Shi, Stanley Gershwin, Duane Boning, « Introduction to Manufacturing Systems : M/M/1 Queue lecture notes », sur MIT Opencourseware.