Espace des phases

Un exemple très schématique permet de fixer les idées.

Prenons par exemple un jeu vidéo simulant la pose sur la Lune d'un module d'exploration lunaire (Lunar Exploration Module, LEM) : le joueur peut activer la propulsion pour ralentir la chute, et doit donc doser entre la gravité, qui fait descendre le module, et la propulsion (si celle-ci est trop forte, le module remonte). Si l'on ne voit sur son écran que la hauteur de l'engin par rapport au sol et que l'on estime au jugé sa vitesse verticale, cette opération est longue et difficile.

Si en revanche on lui associe un petit diagramme matérialisant la situation par un simple point dans un système de coordonnées à deux dimensions (altitude, vitesse), le pilotage en est considérablement facilité : l'objectif est matérialisé par un point fixe à atteindre : le point (0,0) « au niveau du sol et sans vitesse », ce qui constitue bien la définition de l'atterrissage. Or la vitesse n'est que la dérivée de l'autre coordonnée du diagramme, la position. Le problème en devient si simple qu'il peut être automatisé.

C'est donc un exemple de construction et d'utilisation d'un espace des phases très simple qui permet néanmoins de tirer immédiatement profit de ce concept.

Les coordonnées utilisées dans cet espace sont celles des variables canoniques de la mécanique hamiltonienne. L'étude de la mécanique dans cet espace permet d'éliminer la contrainte temporelle dans l'étude de l'évolution d'un système. Cela se montre particulièrement utile quand on compare par exemple la dépendance des solutions d'une équation différentielle à ses conditions initiales.

Les variables dynamiques sont au nombre de 6 : trois variables de position (${\displaystyle x,y,z}$) et trois variables de quantité de mouvement (${\displaystyle p_{x},p_{y},p_{z}}$).

D'après les équations de la mécanique, l'évolution d'un système décrit par un hamiltonien ou un lagrangien est entièrement déterminée par la donnée initiale de la position (${\displaystyle x,y,z}$) et de la vitesse (${\displaystyle v_{x},v_{y},v_{z}}$). La masse étant constante, la quantité de mouvement est proportionnelle à la vitesse.

L'intérêt de représenter la quantité de mouvement plutôt que la vitesse tient à la conservation du wronskien de deux solutions arbitraires[1]. À une dimension spatiale :

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}[x_{1}(t)\,p_{2}(t)-x_{2}(t)\,p_{1}(t)]=0}$.

Voir l'article Principe fondamental de la dynamique.

Une onde peut se caractériser par son vecteur d'onde noté ${\displaystyle {\vec {k}}}$, qui est le vecteur :

• perpendiculaire au front d'onde ;
• orienté dans le sens de propagation de l'onde ;
• dont la norme est l'inverse de la longueur d'onde (voir aussi l'article Nombre d'onde).

Certains préfèrent définir la norme du vecteur d'onde comme étant l'inverse de la longueur d'onde multiplié par deux fois le nombre pi (ceci change la forme des équations, le terme 2π apparaissant ou pas dans l'équation de l'onde).

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