Distance propre

En relativité restreinte, la distance propre entre deux évènements séparés d'un intervalle d'espace-temps de genre espace ${\displaystyle \Delta s^{2}<0}$ est définie par[2] :

${\displaystyle \ell ={\sqrt {-\Delta s^{2}}}}$

Si l'on se place dans un référentiel inertiel où les deux évènements sont simultanés (${\displaystyle \Delta t=0}$), cette expression prend un sens physique concret. Elle correspond à la distance spatiale séparant ces deux évènements :

${\displaystyle \ell ={\sqrt {\Delta x^{2}+\Delta y^{2}+\Delta z^{2}}}}$

Cependant, du fait de l'invariance de l'intervalle d'espace-temps, la distance propre peut également être calculée dans un référentiel inertiel où les évènements ne sont pas simultanés. L'expression générale est alors :

${\displaystyle \ell ={\sqrt {\Delta x'^{2}+\Delta y'^{2}+\Delta z'^{2}-c^{2}\Delta t'^{2}}}}$

Deux évènements sont séparés d'un intervalle d'espace-temps de genre espace si et seulement si ${\displaystyle \ell }$ prend une valeur réelle et non nulle. La distance propre ne dépend pas du référentiel choisi, c'est un invariant relativiste, tout comme le temps propre. La distance propre peut être utilisée pour mesurer la longueur propre d'un corps uniquement si ce corps est immobile dans le référentiel inertiel où les évènements sont simultanés.

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