Digital Signature Algorithm

Le DSA est similaire à un autre type de signature développée par Claus-Peter Schnorr (en) en 1989. Il a aussi des points communs avec la signature ElGamal. Le processus se fait en trois étapes :

• génération des clés ;
• signature du document ;
• vérification du document signé.

Leur sécurité repose sur la difficulté du problème du logarithme discret dans un groupe fini[1].

• Choisir des longueurs ${\displaystyle L}$ et ${\displaystyle N}$ avec ${\displaystyle L}$ divisible par 64. Ces longueurs définissent directement le niveau de sécurité de la clef. NIST 800-57 recommande de choisir ${\displaystyle L=3072}$ et ${\displaystyle N=256}$ pour une sécurité équivalente à 128 bit.
• Choisir un nombre premier ${\displaystyle p}$ de longueur ${\displaystyle L}$.
• Choisir un nombre premier ${\displaystyle q}$ de longueur ${\displaystyle N}$, de telle façon que ${\displaystyle p-1=qz}$, avec ${\displaystyle z}$ un entier.
• Choisir ${\displaystyle h}$, avec ${\displaystyle 1<h<p-1}$ de manière que ${\displaystyle g=h^{z}{\bmod {p}}>1}$.
• Générer aléatoirement un ${\displaystyle x}$, avec ${\displaystyle 0<x<q}$.
• Calculer ${\displaystyle y=g^{x}{\bmod {p}}}$.
• La clé publique est ${\displaystyle (p,q,g,y)}$. La clé privée est ${\displaystyle x}$.

• Choisir un nombre aléatoire ${\displaystyle s}$ tel que ${\displaystyle 1<s<q}$
• Calculer ${\displaystyle s_{1}=(g^{s}\mod p)\mod q}$
• Si ${\displaystyle s1=0}$ recommencer avec un autre ${\displaystyle s}$
• Calculer ${\displaystyle s_{2}=(H(m)+s_{1}x)s^{-1}\mod q}$, où ${\displaystyle H(m)}$ est le résultat d'un hachage cryptographique, par exemple avec SHA-256, sur le message ${\displaystyle m}$
• Si ${\displaystyle s2=0}$ recommencer avec un autre ${\displaystyle s}$
• La signature est ${\displaystyle (s_{1},s_{2})}$

• Rejeter la signature si ${\displaystyle 0<s_{1}<q}$ ou ${\displaystyle 0<s_{2}<q}$ n'est pas vérifié
• Calculer ${\displaystyle w=s_{2}^{-1}{\bmod {q}}}$
• Calculer ${\displaystyle u_{1}=H(m)\cdot w{\bmod {q}}}$
• Calculer ${\displaystyle u_{2}=s_{1}\cdot w{\bmod {q}}}$
• Calculer ${\displaystyle (v=g^{u_{1}}\cdot y^{u_{2}}{\bmod {p}}){\bmod {q}}}$
• La signature est valide si ${\displaystyle v=s_{1}}$

Ce principe de signature est correct dans le sens où le vérificateur acceptera toujours des signatures authentiques. Ceci peut être démontré comme suit avec un exemple pratique :

À partir de ${\displaystyle p-1=qz}$ et ${\displaystyle g=h^{z}{\bmod {p}}}$ découle :

${\displaystyle g^{q}\equiv h^{qz}\equiv h^{p-1}\equiv 1{\bmod {p}}}$ selon le petit théorème de Fermat. Puisque ${\displaystyle g>1}$ et ${\displaystyle q}$ est premier, il s'ensuit que ${\displaystyle g}$ a un ordre égal à ${\displaystyle q}$.

Celui qui procède à la signature obtient :

${\displaystyle s_{2}=s^{-1}(H(m)+xs_{1})\mod {q}.}$

Ainsi

${\displaystyle {\begin{matrix}s&\equiv &H(m)s_{2}^{-1}+xs_{1}s_{2}^{-1}\\&\equiv &H(m)w+xs_{1}w{\pmod {q}}.\\\end{matrix}}}$

Comme g est d'ordre q, on a :

${\displaystyle {\begin{matrix}g^{s}&\equiv &g^{{\rm {H}}(m)w}g^{xs_{1}w}\\&\equiv &g^{{\rm {H}}(m)w}y^{s_{1}w}\\&\equiv &g^{u1}y^{u2}{\pmod {p}}.\\\end{matrix}}}$

Finalement, on aboutit à la validité de DSA :

${\displaystyle s_{1}=(g^{s}\mod p)\mod q=(g^{u1}y^{u2}\mod p)\mod q=v.}$