Diagramme de jonglerie

Graphe transitions-états pour trois objets avec un lancer maximal de hauteur cinq. Pour les états, « X » indique un objet et « - » l’absence d’objet. Les transitions/lancers d’un état vers l’autre sont en rouge et sont possibles dans le sens des flèches seulement. L’état fondamental est XXX-- sur lequel est bouclé la séquence 3, la cascade à trois objets.

Un graphe transitions-états classique représente l’ensemble des états et des transitions possibles entre ces états. C'est une sorte de diagramme en échelle plus complet. Par exemple, le graphe de tous les états possibles pour 3 objets et un lancer maximal de 5 permet de recenser toutes les séquences existantes dans ces conditions c’est-à-dire 26 séquences siteswap dits premières, indécomposables, et toutes les séquences composées qui en découlent. Pour construire une séquence valide, il suffit de partir d’un état, de suivre les flèches à sa guise en concaténant les valeurs des transitions rencontrées ; une fois revenu à l’état de départ la séquence siteswap obtenue sera valide. Lorsque l’état initial est l’état fondamental (plus petit état où tous les bits au plus bas), alors la séquence est dite première ; c’est une séquence indécomposable. Toutes les séquences peuvent être répertoriées par ce biais cependant ce type de graphe devient vite extrêmement complexe et illisible à mesure qu’augmente la hauteur des lancers. Le nombre d’états nécessaires pour une longueur maximale de n et un nombre d’objets k est le coefficient binomial ${\displaystyle {n \choose k}={\frac {n!}{k!\,(n-k)!}}}$.

Introduit en 2004 par Hans Lundmark, le graphe réduit propose une solution à la complexité des graphes complets. Bien que tous les états y soient virtuellement représentés on remplace les états qui n’ont qu’une seule transition d’entrée et une seule transition de sortie par une transition à deux chiffres, trois chiffres pour des chaînes d’états plus longues, etc. L’application récursive de cette méthode permet de réduire considérablement le nombre d’états à représenter. Le graphe réduit pour 3 objets et un lancer maximal de 5 précédent est représenté avec seulement 3 états au lieu de 10 sur le graphe complet[2]. Les transitions entre deux états se lisent avec les chiffres les plus proches de l’état de départ, ainsi pour passer de l’état fondamental 111 à l’état excité 1011 on met en œuvre soit la séquence 4 soit la séquence 52. Avec ce système, 10 états suffiront pour 4 objets et un lancer maximal de 7 contre 35 nécessaires dans le cas d’un graphe complet classique. Plus généralement, il suffira de représenter ${\displaystyle {n-2 \choose k-1}}$ états au lieu de ${\displaystyle {n \choose k}}$ pour k objets et un lancer maximal de n.