Diagramme de Penrose-Carter

Les diagrammes de Penrose-Carter sont ainsi désignés en l'honneur de Roger Penrose et de Brandon Carter qui les ont introduits indépendamment[3] dans les années 1960.

D'après Penrose[4], celui-ci en fit usage, pour la première fois, lors d'une conférence à Varsovie en juillet 1962[5] mais c'est Carter qui introduisit la notion de « diagrammes conformes stricts » en 1966[6]^,[7].

Sur un diagramme de Penrose-Carter[3] :

• toute ligne horizontale est du genre espace,
• toute ligne verticale est du genre temps,
• la lumière se déplace sur des droites inclinées à 45°.

Un diagramme de Penrose-Carter représente divers infinis dits infinis conformes[8]. Ils y sont notés par la lettre i — initiale de l'anglais infinity (« infini ») — suivie, en exposant, de 0, + ou –, correspondant respectivement au zéro, au signe plus et au signe moins[3]^,[8]. Les infinis conformes représentés par un point sont notés par un i ; les autres, par un i en police scripte, dit scri[3]. Les exposants + et – dénotent respectivement le futur et le passé[3].

• le point ${\displaystyle i^{0}}$ est l'infini du genre espace[8], ou infini spatial[3],
• le point ${\displaystyle i^{+}}$ est l'infini futur du genre temps[8], ou infini temporel futur[3],
• le point ${\displaystyle i^{-}}$ est l'infini passé du genre temps[8], ou infini temporel passé[3],
• ${\displaystyle {\mathcal {I}}^{+}}$ est l'infini futur du genre lumière[3]^,[8],
• ${\displaystyle {\mathcal {I}}^{-}}$ est l'infini passé du genre lumière[3]^,[8].

Diagramme de Penrose d'un espace de Schwarzschild.

La figure à gauche montre la représentation d'un espace de Schwarzschild correspondant à un trou noir statique (pas de rotation, ni de charge). La coordonnée verticale nommée « u » est temporelle, alors que la coordonnée horizontale « v » est spatiale. Le diagramme de Penrose est conforme, c'est-à-dire que les géodésiques de genre nul (lignes de lumière) correspondent aux demi-première et deuxième bissectrices « hautes ».

Dans ce système de coordonnées, dérivé de celui de Kruskal, nous avons :

${\displaystyle ds^{2}={\frac {32M^{3}}{r}}{\frac {e^{-{\frac {r}{2M}}}(-du^{2}+dv^{2})}{4\cos ^{2}{\frac {1}{2}}(u+v)\cos ^{2}{\frac {1}{2}}(u-v)}}+r^{2}(d\theta ^{2}+\sin ^{2}\theta d\phi ^{2})}$

Le diagramme fait donc abstraction des deux coordonnées sphériques ${\displaystyle \theta }$ et ${\displaystyle \phi }$. Les cônes de lumières délimités par les géodésiques nulles (ds² = 0) correspondent à du² = dv², donc {u = v} ou {u = -v}, c'est-à-dire les premières et deuxièmes bissectrices.

En partant de la gauche, deux droites (première et seconde bissectrices) divergent : la droite du bas, nommée I-, représente « l'infini du passé », là d'où proviennent tous les mobiles qui viennent de l'infiniment lointain ; la droite du haut, I+, correspond à « l'infini de l'avenir », et représente le lieu vers où se dirigent tous les mobiles qui s'éloignent à jamais du trou noir. Les deux droites horizontales et parallèles représentent la singularité (dans le passé et dans l'avenir), située en r = 0. Le diagramme est symétrique par rapport à la verticale. En pointillés, on a représenté l'horizon du trou noir, situé (en unités convenables) à r = 2M.

On peut donc distinguer quatre régions, suivant leur couleur :

1. Les zones de fond blanc correspondent à notre espace-temps, celles de fond marron à un espace-temps « miroir » ;
2. Les zones de fond clair sont dans l'espace « classique », les zones grisées à l'intérieur des horizons respectifs des singularités.

La singularité du passé (en bas de la figure) et l'espace « symétrique » situé à droite sont généralement considérés comme des artefacts mathématiques sans réalité physique. Ils sont de toute façon impossibles à atteindre. La singularité du passé se comporte comme un « trou blanc », à savoir une zone de répulsion gravitationnelle infinie : aucun mobile extérieur ne peut l'approcher en deçà de son horizon, et tout ce qui se trouve crée à l'intérieur est expulsé — soit dans notre univers « normal » (à gauche), soit dans l'univers « miroir » (à droite).

Il est loisible d'identifier les « losanges » droite et gauche, ce qui revient à interpréter l'univers « miroir » comme une réplique mathématique de notre univers « normal ». Si l'on identifie en outre les singularités du haut et du bas, on arrive à un modèle physique où un trou noir éternel avale de la matière, rejetée dans un ailleurs spatio-temporel sous la forme de trou blanc.