Diagramme de McCabe-Thiele

Schéma général : rectification

Pour plus de clarification, on note :

• x_d : fraction molaire du composé le plus volatil dans le distillat,
• D : débit molaire de distillat,
• L : débit molaire de liquide dans la zone d'enrichissement,
• V : débit molaire de vapeur dans la zone d'enrichissement,
• n : numéro de plateau, qui augmente de bas en haut,
• x_n : composition du liquide d'un plateau n quelconque,
• y_n+1 : composition de la vapeur arrivant au plateau n+1, juste au-dessus du plateau n.

Par définition, le taux de reflux est ${\displaystyle R={\frac {L}{D}}}$.

D’après un bilan global, on a :

${\displaystyle V=L+D}$

Sur le plus volatil, on a :

${\displaystyle y_{n+1}V=x_{n}L+x_{d}D}$

${\displaystyle \Leftrightarrow y_{n+1}=x_{n}{\frac {L}{V}}+x_{d}{\frac {D}{V}}}$

Il faut maintenant exprimer ${\displaystyle {\frac {L}{V}}}$ et ${\displaystyle {\frac {D}{V}}}$ en fonction de R :

• ${\displaystyle {\frac {V}{L}}=\left({\frac {L+D}{L}}\right)=1+{\frac {1}{R}}=\left({\frac {R+1}{R}}\right)}$, soit ${\displaystyle {\frac {L}{V}}=\left({\frac {R}{R+1}}\right)}$
• ${\displaystyle {\frac {V}{D}}=\left({\frac {L+D}{D}}\right)={\frac {L}{D}}+1=R+1}$, soit ${\displaystyle {\frac {D}{V}}=\left({\frac {1}{R+1}}\right)}$

D'où l'équation de la DOZE :

${\displaystyle y_{n+1}=\left({\frac {R}{R+1}}\right)x_{n}+\left({\frac {1}{R+1}}\right)x_{d}}$

Cette droite fait correspondre la composition des phases liquides et vapeurs qui se croisent entre les plateaux n et n+1. Pour la tracer, on prend deux points particuliers :

• ${\displaystyle x_{n}=x_{d}}$
• ${\displaystyle x_{n}=0}$

On obtient donc :

${\displaystyle y(x_{d})=\left({\frac {R}{R+1}}\right)x_{d}+\left({\frac {1}{R+1}}\right)x_{d}=x_{d}}$

et :

${\displaystyle y(0)=\left({\frac {x_{d}}{R+1}}\right)}$

On peut donc tracer la DOZE de pente ${\displaystyle \left({\frac {R}{R+1}}\right)}$ passant par le point ${\displaystyle (x_{d};x_{d})}$ ainsi que par le point ${\displaystyle (0;{\frac {x_{d}}{R+1}})}$.

On note :

• L' : débit de liquide en molaire dans la zone d'appauvrissement,
• V' : débit de vapeur en molaire dans la zone d’appauvrissement,
• x_s : fraction molaire du composé le plus volatil dans le soutirat,
• S : débit du soutirat en molaire,
• n : numéro de plateau, qui augmente de bas en haut,
• x_n : composition du liquide d'un plateau quelconque n,
• y_n+1 : composition de la vapeur arrivant au plateau n+1, juste au-dessus du plateau n.

Par définition, le taux de rebouillage est ${\displaystyle R_{b}={\frac {V'}{S}}}$.

D'après un bilan global, on a :

${\displaystyle L'=V'+S}$

Sur le plus volatil, on a :

${\displaystyle L'x_{n}=V'y_{n+1}+Sx_{s}}$

${\displaystyle \Leftrightarrow y_{n+1}={\frac {L'}{V'}}x_{n}-{\frac {S}{V'}}x_{s}}$

Il faut exprimer ${\displaystyle {\frac {L'}{V'}}}$ et ${\displaystyle {\frac {S}{V'}}}$en fonction de R_b :

• ${\displaystyle R_{b}={\frac {V'}{S}}\Leftrightarrow {\frac {S}{V'}}={\frac {1}{R}}_{b}}$
• ${\displaystyle L'=V'+S\Leftrightarrow S=L'-V'}$, d'où ${\displaystyle {\frac {1}{R}}_{b}={\frac {L'-V'}{V'}}={\frac {L'}{V'}}-1}$ donc ${\displaystyle {\frac {L'}{V'}}={\frac {1}{R_{b}+1}}={\frac {R_{b}+1}{R_{b}}}}$

D'où une autre expression de l'équation de la DOZA :

${\displaystyle y_{n+1}={\frac {R_{b}+1}{R_{b}}}x_{n}-{\frac {1}{R}}_{b}x_{s}}$

Cette droite fait correspondre les compositions des phases liquide et vapeur qui se croisent entre deux plateaux. Pour la tracer, on prend deux points particuliers :

• ${\displaystyle x_{n}=x_{s}}$ ;
• intersection entre la DOZE et la DA.

On obtient donc :

${\displaystyle y(x_{s})={\frac {R_{b}+1}{R_{b}}}x_{s}-{\frac {1}{R}}_{b}=x_{s}}$.

On peut donc tracer la DOZA de pente ${\displaystyle {\frac {R_{b}+1}{R_{b}}}}$ et passant par le point ${\displaystyle (x_{s};x_{s})}$.

On effectue quatre bilans successifs : sur le préchauffage, sur le plateau de l'alimentation, sur les zones d'enrichissement et d'appauvrissement et sur l'alimentation.

Pour plus de clarification, on note :

• A : débit de l'alimentation,
• x_A : fraction molaire du composé le plus volatil dans l'alimentation,
• V_A : débit de vapeur en molaire de l'alimentation,
• L_A : débit de liquide en molaire de l'alimentation,
• y_VA  : composition de la phase vapeur à la température de l'alimentation,
• x_LA : composition de la phase liquide à la température de l'alimentation.

Le bilan global donne :

${\displaystyle A=V_{A}+L_{A}}$.

Sur le plus volatil, on a :

${\displaystyle Ax_{A}=V_{A}y_{VA}+L_{A}x_{LA}}$.

A et x_A sont connus, x_LA et y_VA sont à déterminer à partir du diagramme isobare ou par un tableau de données, et V_A et L_A sont inconnues et sont à déterminer avec les deux équations.

On effectue deux bilans : un sur le débit de vapeur et un sur le débit de liquide. Concernant le bilan vapeur, on a :

${\displaystyle V=V_{A}+V'}$

${\displaystyle \Leftrightarrow V_{A}=V-V'}$

Pour le bilan liquide, on a :

${\displaystyle L'=L+L_{A}}$

${\displaystyle \Leftrightarrow L_{A}=L'-L}$

Pour la zone d'enrichissement, on a :

${\displaystyle Vy=Lx+Dx_{d}}$

Pour la zone d'appauvrissement, on a :

${\displaystyle L'x=V'y+Sx_{s}}$

On somme les deux équations :

${\displaystyle Vy+L'x=Lx+V'y+Dx_{d}+Sx_{s}}$

Or, d'après le bilan global sur l'ensemble de l'alimentation, on a :

${\displaystyle Dx_{d}+Sx_{s}=Ax_{A}}$

Finalement, on obtient :

${\displaystyle Vy+L'x=Lx+V'y+Ax_{a}}$

D'après l'équation précédente, on a :

${\displaystyle Vy+L'x=Lx+V'y+Ax_{a}}$

On peut déterminer l'équation de la droite d'alimentation, en effet, on a :

${\displaystyle y(V-V')=x(L-L')+Ax_{A}}$

or :

${\displaystyle V-V'=V_{A}}$

et :

${\displaystyle L-L'=-L_{A}}$

Ainsi, on a :

${\displaystyle yV_{A}=-xL_{A}+Ax_{A}}$

Donc l'équation de la droite d'alimentation est :

${\displaystyle y=-{\frac {L_{A}}{V_{A}}}x+{\frac {A}{V_{A}}}x_{A}}$

Par définition, la fraction liquide d'alimentation est ${\displaystyle q={\frac {L_{A}}{A}}}$.

On exprime tout d'abord ${\displaystyle {\frac {L_{A}}{V_{A}}}}$ en fonction de ${\displaystyle q}$ :

${\displaystyle A=L_{A}+V_{A}}$

${\displaystyle \Leftrightarrow V_{A}=A-L_{A}}$

${\displaystyle \Leftrightarrow {\frac {L_{A}}{V_{A}}}={\frac {L_{A}}{A-L_{A}}}}$

En inversant, on a :

${\displaystyle {\frac {V_{A}}{L_{A}}}={\frac {A-L_{A}}{L_{A}}}={\frac {1-q}{q}}}$

d'où :

${\displaystyle {\frac {L_{A}}{V_{A}}}={\frac {q}{1-q}}}$

Puis on exprime ${\displaystyle {\frac {A}{V_{A}}}}$ en fonction de ${\displaystyle q}$ :

${\displaystyle A=L_{A}+V_{A}}$

${\displaystyle \Leftrightarrow L_{A}=A-V_{A}}$

et :

${\displaystyle q={\frac {L_{A}}{A}}={\frac {A-V_{A}}{A}}=1-{\frac {V_{A}}{A}}}$

d'où :

${\displaystyle {\frac {V_{A}}{A}}=1-q\Leftrightarrow {\frac {A}{V_{A}}}={\frac {1}{1-q}}}$

On peut donc exprimer l'équation de la droite d'alimentation en fonction de la fraction liquide de l'alimentation :

${\displaystyle y={\frac {q}{q-1}}x-{\frac {1}{q-1}}x_{A}}$

Pour tracer la DA, on prend deux points particuliers : le point ${\displaystyle (x_{LA};y_{VA})}$ (composition des phases L et V à la température d'alimentation) et le point quand ${\displaystyle x=x_{A}}$, qui donne ${\displaystyle y(x_{A})={\frac {q}{q-1}}x_{A}-{\frac {1}{q-1}}x_{A}=x_{A}}$.

À noter qu'il est possible de faire un diagramme en prenant en compte les enthalpies du liquide (isobare de rosée) et de la vapeur saturée (isobare d'ébullition) en fonction des fractions x et y du mélange en utilisant le diagramme de Ponchon et Savarit.