Courbure d'un arc

L'angle entre les deux tangentes est égal à l'angle au centre

Lors d'un déplacement quelconque sur un cercle de rayon R, la longueur parcourue est ΔS, le changement de direction des tangentes est mesuré par l'angle Δα entre les tangentes au point de départ et au point d'arrivée. Cet angle correspond à l'angle au centre entre le point d'arrivée et le point de départ. On a ainsi la relation : Δα = ΔS/R Le rapport Δα/ΔS est constant et égal à 1/R. Il est indépendant des points de départ et d'arrivée mais aussi du mode de parcours (mouvement uniforme ou non). C'est ce qu'on appelle la courbure du cercle. Plus le rayon est grand, plus cette courbure est faible.

L'idée est de considérer une courbe localement comme un cercle et de chercher la limite du rapport précédent pour un déplacement infiniment petit sur la courbe.

Considérons un plan muni d'un repère orthonormé (0, x, y), et un arc défini comme le graphe d'une fonction ƒ, c'est-à-dire défini par l'équation y = ƒ(x).

Si cet arc est « suffisamment lisse », alors il admet en tout point x une tangente, et la pente de la tangente est la dérivée en ce point, ƒ'(x).

Si cet arc est une droite, la tangente est la même partout, ƒ' est constante. Si cet arc présente une courbure non nulle, c'est qu'il s'écarte de la notion de droite : sa dérivée varie. Intuitivement, on voit que plus l'arc est courbe, plus la dérivée « varie vite ».

Représentation de la courbure d'un arc d'une courbe plane

On peut ainsi lier la courbure à la variation de la dérivée, et donc à la dérivée seconde.

Si l'on cherche à chiffrer cette courbure, il faut s'intéresser aux variations infinitésimales d'angle des tangentes et de longueur d'arc. La tangente à la courbe fait avec l'axe des abscisses un angle α(x) = arctan (f '(x)). Pour une variation infinitésimale dx, on obtient

• ${\displaystyle \mathrm {d} \alpha (x)={\frac {f''(x)}{1+f'^{2}(x)}}\mathrm {d} x}$
• ${\displaystyle \mathrm {d} s(x)={\sqrt {1+f'^{2}(x)}}\mathrm {d} x}$

La courbure algébrique est alors donnée par le rapport de ces deux variations

• ${\displaystyle \gamma (x)={\frac {f''(x)}{(1+f'^{2}(x))^{3/2}}}}$

La courbe du bas est lisse, pourtant sa courbure n'est pas définie partout.

La notion de « suffisamment lisse » est trompeuse. Considérons la courbe du bas ci-contre. Sa dérivée est la courbe du milieu, une courbe en dents de scie. Sa dérivée seconde est la courbe du haut, un signal carré. On voit que localement — en x = 1, x = 2, … — on ne peut pas définir de dérivée seconde, puisque celle-ci vaut -1 d'un côté et +1 de l'autre côté du point. Localement, l'arc a donc une courbure indéfinie.

Le vecteur tangent unitaire possédant une norme constante, on démontre que sa dérivée lui est toujours orthogonale :

${\displaystyle \forall s\in I,\ \|{\vec {T}}(s)\|^{2}\ =\ 1\quad \Rightarrow \quad \forall s\in I,\ {\frac {\mathrm {d} {\vec {T}}}{\mathrm {d} s}}(s)\ \cdot \ {\vec {T}}(s)\ =\ 0.}$

Il existe donc une fonction γ, appelée courbure algébrique, telle que[2]

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} {\vec {T}}(s)}{\mathrm {d} s}}\ =\ \gamma (s)\ {\vec {N}}(s)={\frac {\mathrm {d} ^{2}{\vec {M}}}{\mathrm {d} s^{2}}}(s).}$

En paramétrage normal, le vecteur accélération est donc normal (colinéaire au vecteur normal unitaire) et la courbure est sa coordonnée selon le vecteur normal unitaire.

Le signe de la courbure renseigne sur la concavité de la courbe, c'est-à-dire le demi-plan de frontière la tangente et contenant localement la courbe. Si la courbure est strictement positive, le second vecteur de la base de Frenet, pointe vers la concavité de la courbe, si la courbure est strictement négative, c'est l'opposé du second vecteur qui pointe vers la concavité de la courbe[3].

Dans un paramétrage quelconque, la courbure peut aussi être obtenue à partir de la vitesse et de l'accélération par la formule[2]^,[4]

${\displaystyle \gamma (t)={\frac {\det \left({\frac {\mathrm {d} {\vec {M}}}{\mathrm {d} t}}(t),{\frac {\mathrm {d} ^{2}{\vec {M}}}{\mathrm {d} t^{2}}}(t)\right)}{\left\|{\frac {\mathrm {d} {\vec {M}}}{\mathrm {d} t}}(t)\right\|^{3}}}}$

(où det désigne le produit mixte).

Cette formule montre qu'un point est birégulier si la courbure en ce point est non nulle.

Pour déterminer complètement les vecteurs de la base de Frenet, il suffit d'un paramètre angulaire α, qui est plus formellement le relèvement angulaire et qui peut toujours être défini pour une courbe suffisamment régulière, donnant l'angle entre T et le premier vecteur de la base fixe (vecteur des abscisses)

${\displaystyle \alpha ={\widehat {(i,T)}}\qquad {\hbox{ou encore}}\qquad T={\begin{pmatrix}\cos \alpha \\\sin \alpha \end{pmatrix}}\qquad N={\begin{pmatrix}-\sin \alpha \\\cos \alpha \end{pmatrix}}}$

Ce paramètre α s'interprète donc comme l'angle que forme la base de Frenet avec une direction fixe.

Il est alors judicieux de prendre l'angle α pour paramètre et de dériver les éléments du repère de Frénet par rapport à α. En mathématiques du moins, il est nécessaire de valider cette opération. On montre que si l'arc est birégulier (c'est-à-dire que les vecteurs dérivée première et seconde ne sont jamais colinéaires), il est possible de faire de l'angle α une fonction régulière reparamétrant l'arc, et ainsi de dériver par rapport à α. On trouvera la discussion correspondante dans l'article sur le théorème de relèvement.

Dans ce paramétrage, le vecteur N s'obtient soit en effectuant une rotation de ${\displaystyle {\frac {\pi }{2}}}$ (quart de tour dans le sens direct), soit en ajoutant ${\displaystyle {\frac {\pi }{2}}}$ à α, soit encore en dérivant par rapport à α

${\displaystyle N={\begin{pmatrix}-\sin \alpha \\\cos \alpha \end{pmatrix}}={\frac {\mathrm {d} T}{\mathrm {d} \alpha }}\qquad T=-{\frac {\mathrm {d} N}{\mathrm {d} \alpha }}}$

Les formules de dérivation des vecteurs T et N par rapport à α sont rigoureusement identiques aux formules de dérivation de la base mobile en coordonnées polaires, puisqu'il s'agit exactement de la même situation.

La courbure γ vaut alors[5]

${\displaystyle \gamma ={\frac {\mathrm {d} \alpha }{\mathrm {d} s}}}$

C'est donc la vitesse de rotation de la base de Frenet par rapport à une direction fixe (encore une fois, en paramétrage normal).

R est le rayon de courbure en P de la courbe C.

L'analyse dimensionnelle montre que pour un problème de cinématique, γ est homogène à l'inverse d'une longueur. On introduit donc fréquemment le rayon de courbure (algébrique)[2]

${\displaystyle R={\frac {1}{\gamma }}={\frac {\mathrm {d} s}{\mathrm {d} \alpha }}}$

Pour comprendre la signification de cette grandeur, il est intéressant d'examiner le cas particulier d'un cercle

${\displaystyle {\begin{cases}x(t)=r\cos t\\y(t)=r\sin t\end{cases}}}$

L'application de la formule de calcul de la courbure donne R=r.

Plus généralement, pour tout arc ${\displaystyle {\mathcal {C}}^{2}}$ birégulier au point P d'abscisse curviligne s, on montre qu'il existe un unique cercle qui « épouse cette courbe le mieux possible » dans un voisinage de P : le cercle osculateur. Il est tangent à la courbe en P et son rayon est égal à la valeur absolue du rayon de courbure.

La sinuosité décrit la courbure de plusieurs arcs reliés avec des points d'inflexion.

La convention choisie précédemment fait de la courbure et du rayon de courbure des quantités algébriques. Si l'on prend les conventions suivantes :

• le rayon de courbure est le rayon du cercle osculateur, il est toujours positif
• la courbure est son inverse, elle est toujours positive
• le vecteur ${\displaystyle {\vec {N}}(s)}$ est un vecteur unitaire normal à la courbe au point ${\displaystyle M}$, orienté vers le centre du cercle osculateur.

Si la courbure algébrique est positive, on retombe exactement sur les conventions précédentes. Sinon, la courbure et le rayon de courbure sont les valeurs absolues des conventions algébriques, et le vecteur normal unitaire est l'opposé de la convention algébrique. La base construite n'est plus forcément une base directe. On retrouve cependant la formule

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} {\vec {T}}}{\mathrm {d} s}}=\gamma {\vec {N}}}$

Avec cette convention le vecteur normal unitaire indique le sens vers lequel est tourné la concavité de la courbe. Cette convention n'a de sens que si la courbure est non nulle. Dans le cas contraire, le vecteur normal unitaire n'est pas défini.

Considérons un arc paramétré de classe ${\displaystyle {\mathcal {C}}^{2}}$ dans l'espace euclidien orienté ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$, supposé régulier ; on peut de nouveau prendre pour paramètre l'abscisse curviligne et, au point ${\displaystyle {\vec {M}}(s)}$, on peut définir le vecteur tangent unitaire ${\displaystyle {\vec {T}}(s)={\frac {\mathrm {d} {\vec {M}}}{\mathrm {d} s}}(s)}$. Cependant, dans l'espace, il existe une infinité de vecteurs unitaires orthogonaux au vecteur unitaire tangent. L'idée est d'en choisir un ayant même direction que ${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} {\vec {T}}(s)}{\mathrm {d} s}}}$, vecteur que l'on sait être orthogonal au premier et qu'il suffira de diviser par sa norme pour le rendre unitaire.

On définit la courbure au point ${\displaystyle {\vec {M}}(s)}$ comme[8] ${\displaystyle \gamma (s)=\left\|{\frac {\mathrm {d} {\vec {T}}(s)}{\mathrm {d} s}}\right\|=\left\|{\frac {\mathrm {d} ^{2}{\vec {M}}}{\mathrm {d} s^{2}}}(s)\right\|}$

Si la courbe est bi-régulière, la courbure est non nulle. On peut alors définir le second vecteur de la base de Frenet comme: ${\displaystyle {\vec {N}}(s)={\frac {1}{\gamma (s)}}{\frac {\mathrm {d} {\vec {T}}(s)}{\mathrm {d} s}}}$

Le rayon de courbure est alors égal à l'inverse de la courbure[8].

En pratique si on considère une courbe paramétrée ${\displaystyle \mathbf {r} (t)}$, la courbure est la norme du vecteur ${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} ^{2}\mathbf {r} }{\mathrm {d} s^{2}}}}$, où ${\displaystyle s}$ est l'abscisse curviligne définie par ${\displaystyle s(t)\triangleq \int _{\tau =t_{0}}^{\tau =t}\left\|{\dot {\mathbf {r} }}(\tau )\right\|\mathrm {d} \tau }$, où on note ${\displaystyle {\dot {\mathbf {r} }}(t)\triangleq {\frac {\mathrm {d} \mathbf {r} }{\mathrm {d} t}}(t)}$ et ${\displaystyle {\ddot {\mathbf {r} }}(t)\triangleq {\frac {\mathrm {d} ^{2}\mathbf {r} }{\mathrm {d} t^{2}}}(t)}$.

Le problème revient donc à calculer ${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} ^{2}\mathbf {r} }{\mathrm {d} s^{2}}}}$:

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} ^{2}\mathbf {r} }{\mathrm {d} s^{2}}}={\frac {1}{\left\|{\dot {\mathbf {r} }}(t)\right\|^{2}}}\left({\ddot {\mathbf {r} }}(t)-{\frac {{\dot {\mathbf {r} }}(t)}{\left\|{\dot {\mathbf {r} }}(t)\right\|}}{\frac {\mathrm {d} \left\|{\dot {\mathbf {r} }}(t)\right\|}{\mathrm {d} t}}\right)}$

On peut également écrire cette formule ainsi:

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} ^{2}\mathbf {r} }{\mathrm {d} s^{2}}}(t)={\frac {1}{\left\|{\dot {\mathbf {r} }}(t)\right\|^{2}}}\left({\ddot {\mathbf {r} }}(t)-{\frac {\langle {\dot {\mathbf {r} }}(t)\mid {\ddot {\mathbf {r} }}(t)\rangle }{\left\|{\dot {\mathbf {r} }}(t)\right\|^{2}}}{\dot {\mathbf {r} (t)}}\right)}$

où ${\displaystyle \langle \mathbf {a} \mid \mathbf {b} \rangle }$ désigne le produit scalaire entre un vecteur ${\displaystyle \mathbf {a} }$ et un vecteur ${\displaystyle \mathbf {b} }$.

Si on note

• ${\displaystyle {\vec {V}}_{m}={\frac {1}{\left\|{\dot {\mathbf {r} }}(t)\right\|^{2}}}{\ddot {\mathbf {r} }}(t)}$
• ${\displaystyle {\vec {T}}_{m}={\frac {1}{\left\|{\dot {\mathbf {r} }}(t)\right\|}}{\dot {\mathbf {r} }}(t)}$ (vecteur unitaire de la tangente)

La formule s'écrit : ${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} ^{2}\mathbf {r} }{\mathrm {d} s^{2}}}={\vec {V}}_{m}-\langle {\vec {V}}_{m}\mid {\vec {T}}_{m}\rangle {\vec {T}}_{m}.}$

Cela fait de ${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} ^{2}\mathbf {r} }{\mathrm {d} s^{2}}}}$ le projeté orthogonal[9] de ${\displaystyle {\vec {V}}_{m}}$ dans l'hyperplan orthogonal au vecteur ${\displaystyle {\vec {T}}_{m}}$.

Le théorème de Pythagore permet alors de déterminer la courbure[9] : ${\displaystyle \gamma _{m}={\sqrt {{\vec {V}}_{m}^{2}-\langle {\vec {V}}_{m}\mid {\vec {T}}_{m}\rangle ^{2}}}={\frac {\sqrt {{\ddot {\mathbf {r} }}^{2}(t){\dot {\mathbf {r} }}^{2}(t)-\langle {\ddot {\mathbf {r} }}(t)\mid {\dot {\mathbf {r} }}(t)\rangle ^{2}}}{\left\|{\dot {\mathbf {r} }}(t)\right\|^{3}}}.}$En dimension trois, la courbure peut s'exprimer par la formule suivante[10] :

${\displaystyle \gamma _{m}={\frac {\left\|{\ddot {r}}(t)\wedge {\dot {r}}(t)\right\|}{\left\|{\dot {r}}(t)\right\|^{3}}}}$

En tout point M d'une surface Σ paramétré régulière, dans un espace orienté, on peut définir un vecteur normal à la surface ${\displaystyle {\vec {n}}_{m}}$. Pour un arc paramétré de classe ${\displaystyle {\mathcal {C}}^{2}}$ et régulier , inclus dans la surface Σ ; on peut de nouveau prendre pour paramètre l'abscisse curviligne et, au point ${\displaystyle {M}(s)}$, on peut définir

• le vecteur normal à la surface: ${\displaystyle {\vec {n}}(s)}$
• le vecteur tangent unitaire : ${\displaystyle {\vec {T}}(s)={\frac {\mathrm {d} {\vec {M}}}{\mathrm {d} s}}(s)}$.
• un troisième vecteur unitaire formant avec les deux autres une base orthonormale direct: ${\displaystyle {\vec {g}}(s)={\vec {n}}(s)\wedge {\vec {T}}(s)}$

Le repère ${\displaystyle (M(s);{\vec {T}}(s),{\vec {g}}(s),{\vec {n}}(s))}$ est le repère de Darboux de la courbe au point M(s).

Le vecteur ${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} {\vec {T}}(s)}{\mathrm {d} s}}}$, orthogonal à ${\displaystyle {\vec {T}}(s)}$, est alors combinaison linéaire de ${\displaystyle {\vec {g}}(s)}$ et ${\displaystyle {\vec {n}}(s)}$. Il existe donc deux fonctions γ_g et γ_n, appelées respectivement courbure géodésique et courbure normale telles que

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} {\vec {T}}(s)}{\mathrm {d} s}}\ =\ \gamma _{g}(s)\ {\vec {g}}(s)+\ \gamma _{n}(s)\ {\vec {n}}(s)}$

La courbure de l'arc au point M est alors donnée par : ${\displaystyle \gamma (s)={\sqrt {\gamma _{g}^{2}(s)+\gamma _{n}^{2}(s)}}}$

Outre la courbure géométrique, le repère de Darboux fournit également deux courbures algébriques : une dans la direction normale à la surface, l'autre dans une direction située dans le plan tangent à la surface et normale à la tangente à la courbe. Pour reprendre l'exemple de la route tracée en montagne sur la surface de la Terre orientée par un vecteur opposé à l'attraction terrestre, la courbure géodésique γ_g définit l'amplitude de la courbure dans le plan tangent à la surface, c'est-à-dire l'amplitude à laquelle il faut tourner le volant, son signe continue à indiquer dans quel sens tourner le volant (à gauche pour un signe positif).