Constante des nombres premiers

En mathématiques récréatives, la constante des nombres premiers est le nombre réel ${\displaystyle \rho }$, compris entre 0 et 1, dont le ${\displaystyle n}$-ième chiffre binaire après la virgule est 1 si ${\displaystyle n}$ est premier et 0 si ${\displaystyle n}$ est composé ou égal à 1.

En d'autres termes, le développement binaire de ${\displaystyle \rho }$ correspond à la fonction caractéristique ${\displaystyle \chi _{\mathbb {P} }}$ de l'ensemble ${\displaystyle \mathbb {P} }$ des nombres premiers :

${\displaystyle \rho =\sum _{p\in \mathbb {P} }{\frac {1}{2^{p}}}=\sum _{n\in \mathbb {N} ^{*}}{\frac {\chi _{\mathbb {P} }(n)}{2^{n}}}.}$

Le début du développement décimal de ρ est : ${\displaystyle 0{,}4146825098}$ (suite A051006 de l'OEIS).

Le début de son développement binaire est : ${\displaystyle 0{,}0110101000}$ (suite  A010051 de l'OEIS).

On démontre facilement par l'absurde que ${\displaystyle \rho }$ est irrationnel. Pour cela, supposons qu'il est rationnel, c'est-à-dire de développement périodique à partir d'un certain rang, en base b = 10 comme en toute base b entière, en particulier en base deux.

Notons ${\displaystyle r_{k}}$ le ${\displaystyle k}$-ième chiffre de ce développement binaire de ${\displaystyle \rho }$. Il existe donc deux entiers ${\displaystyle k>0}$ et ${\displaystyle N}$ tels que ${\displaystyle r_{n}=r_{n+k}}$ pour tout ${\displaystyle n\geq N}$.

Pour ${\displaystyle k}$ et ${\displaystyle N}$ comme ci-dessus, choisissons un nombre premier ${\displaystyle p\geq N}$. Alors, ${\displaystyle 1=r_{p}=r_{p+k}=r_{p+2k}=\dots =r_{p+pk}}$, ce qui est absurde puisque ${\displaystyle p+pk=p(k+1)}$ est composé.