Constante de connectivité

Soit ${\displaystyle c_{n}}$le nombre de chemins auto-évitants de longueur n partant d'un point donné du réseau (graphe infini sommets-transitif). Comme un chemin auto-évitant de longueur n + m peut être décomposé en deux chemins auto-évitants de longueur n et m, il s'ensuit que ${\displaystyle c_{n+m}\leqslant c_{n}c_{m}}$. Puis, en appliquant le lemme sous-additif au logarithme de ${\displaystyle c_{n}}$, on obtient l'existence de

${\displaystyle \mu =\lim _{n\rightarrow \infty }c_{n}^{1/n}}$.

Ce nombre est appelé la constante de connectivité du réseau. Sa valeur exacte n'est connue que pour deux réseaux classiques, voir ci-dessous. Pour les autres réseaux, ${\displaystyle \mu }$ a seulement été approchée numériquement en utilisant la conjecture ${\displaystyle {\frac {c_{n+1}}{c_{n}}}\rightarrow \mu }$ (seule a été démontrée la limite ${\displaystyle {\frac {c_{n+2}}{c_{n}}}\rightarrow \mu ^{2}}$).

Il est de plus conjecturé que

${\displaystyle c_{n}\sim c.\mu ^{n}.n^{\gamma }}$

lorsque n tend vers l'infini, où ${\displaystyle \mu }$ dépend du réseau, mais où l'exposant ${\displaystyle \gamma }$ est universel (il dépend de la dimension, mais pas du réseau). En 2D, il est conjecturé que ${\displaystyle \gamma =11/32}$ [3]^,[4]. On l'approche numériquement en utilisant ${\displaystyle {\frac {c_{n-1}c_{n+1}}{c_{n}^{2}}}\simeq 1-{\frac {\gamma }{n^{2}}}}$.

Ces valeurs données ci-dessous sont tirées de l'étude de Jensen–Guttmann de 1998[5].

Type du réseau	Description (code-sommet pour un pavage semi-régulier)	Constante de connectivité	Référence OEIS pour la suite des décimales
hexagonal	${\displaystyle 6^{3}}$(i. e. 3 hexagones par nœud)	${\displaystyle ={\sqrt {2+{\sqrt {2}}}}=2\cos {\frac {\pi }{8}}=1,847759...}$	suite A179260 de l'OEIS
triangulaire	${\displaystyle 3^{6}}$	${\displaystyle \approx 4,15079}$
carré ${\displaystyle \mathbb {Z} ^{2}}$	${\displaystyle 4^{4}}$	${\displaystyle \approx 2,63815853}$	cf : suite A156816 de l'OEIS Valeur coïncidant sur 8 décimales
échelle ${\displaystyle \mathbb {Z} \times \left\{0,1\right\}}$	Deux droites reliées par des barreaux	${\displaystyle ={\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}=1,6180339...}$ (nombre d'or)	La suite ${\displaystyle (c_{n})}$ est référencée comme suite A110935 de l'OEIS .
carré Manhattan-orienté		${\displaystyle \approx 1,733535}$
carré orienté en L		${\displaystyle \approx 1,5657}$
trihexagonal	${\displaystyle (3.6)^{2}}$	${\displaystyle \approx 2,56062}$
hexagonal tronqué	${\displaystyle 3.12^{2}}$	${\displaystyle =1,7110412...}$	suite A249776 de l'OEIS
carré tronqué	${\displaystyle 4.8^{2}}$	${\displaystyle \approx 1,80883001}$
cubique ${\displaystyle \mathbb {Z} ^{3}}$		${\displaystyle \approx 4,755995}$
hypercubique ${\displaystyle \mathbb {Z} ^{d}}$		${\displaystyle \in [d,2d-1]}$

Comme chaque pas dans le réseau hexagonal correspond à deux ou trois pas pour le réseau hexagonal tronqué, la constante de connectivité de ce dernier réseau peut être exprimée exactement ; c'est la plus grande racine réelle du polynôme ${\displaystyle x^{12}-4x^{8}-8x^{7}-4x^{6}+2x^{4}+8x^{3}+12x^{2}+8x+2}$.

Plus d'informations sur ces réseaux peuvent être trouvées dans l'article sur le seuil de percolation (en).

En 2010, Hugo Duminil-Copin et Stanislav Smirnov ont publié la première preuve rigoureuse du fait que ${\displaystyle \mu ={\sqrt {2+{\sqrt {2}}}}}$ pour le réseau hexagonal[2].

Cela avait été conjecturé par Nienhuis, en 1982, dans le cadre d'une étude plus large de modèles en ${\displaystyle O(n)}$ à l'aide de techniques de renormalisation. La preuve rigoureuse est issue d'un programme d'application des outils de l'analyse complexe à des modèles probabilistes, programme qui a également produit des résultats impressionnants pour le modèle d'Ising, entre autres[6].

L'argument repose sur l'existence d'une "observable parafermionique" qui satisfait la moitié des équations discrètes de Cauchy–Riemann pour le réseau hexagonal.

Nous allons modifier légèrement la définition d'un chemin auto-évitant en le faisant commencer et terminer au milieu d'une arête. Soit H l'ensemble de tous les milieux des arêtes du réseau hexagonal supposé plongé dans le plan complexe. Pour un chemin auto-évitant ${\displaystyle \gamma }$ entre les deux milieux d'arêtes a et b , nous appelons ${\displaystyle \ell (\gamma )}$ le nombre de sommets visités et ${\displaystyle W_{\gamma }(a,b)}$son nombre d'enroulement ou "winding" égal à la totalité de la rotation de la direction en radians quand on parcourt ${\displaystyle \gamma }$ de a à b . Le but de la démonstration est de prouver que la fonction "de partition" ${\displaystyle Z(x)=\sum _{\gamma :a\to H}x^{\ell (\gamma )}=\sum _{n=0}^{\infty }c_{n}x^{n}}$a un rayon de convergence égal à ${\displaystyle x_{c}=1/{\sqrt {2+{\sqrt {2}}}}}$. Cela implique en effet immédiatement que ${\displaystyle \mu =\lim _{n\rightarrow \infty }c_{n}^{1/n}={\sqrt {2+{\sqrt {2}}}}}$.

Étant donné un domaine ${\displaystyle \Omega }$ dans le réseau hexagonal, un milieu d'arête a et deux paramètres x et ${\displaystyle \sigma }$, nous définissons "l'observable parafermionique"

${\displaystyle F(z)=\sum _{\gamma \subset \Omega :a\to z}e^{-i\sigma W_{\gamma }(a,z)}x^{\ell (\gamma )}}$.

Si ${\displaystyle x=1/{\sqrt {2+{\sqrt {2}}}}}$ et ${\displaystyle \sigma =5/8}$, alors pour tout sommet s de ${\displaystyle \Omega }$ nous avons ${\displaystyle (p-s)F(p)+(q-s)F(q)+(r-s)F(r)=0}$ où p,q,r sont les milieux des arêtes émanant de s. Ce lemme établit que l'observable parafermionique est de divergence nulle. Il n'a pas été montré que son rotationnel est nul mais cela permettrait de résoudre plusieurs problèmes ouverts (voir les conjectures). La preuve de ce lemme est un savant calcul qui dépend fortement de la géométrie du réseau hexagonal.Ensuite, nous nous concentrons sur un domaine trapézoïdal ${\displaystyle S_{T,L}}$ avec 2L cellules formant le côté gauche, T cellules au travers, et des côtés supérieur et inférieur avec un angle de ${\displaystyle \pm \pi /3}$ (image nécessaire).

Nous avons intégré le réseau hexagonal dans le plan complexe, de sorte que l'arête de longueur 1 et  la mi-arête dans le centre de la gauche est positionné en −1/2. Puis les sommets sont donnés par ${\displaystyle V(S_{T,L})=\{z\in V(\mathbb {H} ):0\leq Re(z)\leq {\frac {3T+1}{2}},\;|{\sqrt {3}}Im(z)-Re(z)|\leq 3L\}}$.

Nous définissons alors les fonctions de partition pour les chemins auto-évitants partant de a et aboutissant à la frontière. Soit ${\displaystyle \alpha }$ la partie gauche de la frontière, ${\displaystyle \beta }$ la droite, ${\displaystyle \epsilon }$la partie supérieure, et ${\displaystyle {\bar {\epsilon }}}$ la partie inférieure. Soit ${\displaystyle A_{T,L}^{x}:=\sum _{\gamma \in S_{T,L}:a\to \alpha \setminus \{a\}}x^{\ell (\gamma )},\quad B_{T,L}^{x}:=\sum _{\gamma \in S_{T,L}:a\to \beta }x^{\ell (\gamma )},\quad E_{T,L}^{x}:=\sum _{\gamma \in S_{T,L}:a\to \epsilon \cup {\bar {\epsilon }}}x^{\ell (\gamma )}}$.

En additionnant l'identité ${\displaystyle (p-s)F(p)+(q-s)F(q)+(r-s)F(r)=0}$sur tous les sommets de ${\displaystyle V(S_{T,L})}$ et notant que le "winding" est fixé en fonction de la partie de la frontière où le chemin se termine, nous arrivons à la relation ${\displaystyle 1=\cos(3\pi /8)A_{T,L}^{x_{c}}+B_{T,L}^{x_{c}}+\cos(\pi /4)E_{T,L}^{x_{c}}}$après un autre habile calcul. Faisant ${\displaystyle L\to \infty }$, on obtient une bande ${\displaystyle S_{T}}$ et les fonctions de partition ${\displaystyle A_{T}^{x}:=\sum _{\gamma \in S_{T}:a\to \alpha \setminus \{a\}}x^{\ell (\gamma )},\quad B_{T}^{x}:=\sum _{\gamma \in S_{T}:a\to \beta }x^{\ell (\gamma )},\quad E_{T}^{x}:=\sum _{\gamma \in S_{T}:a\to \epsilon \cup {\bar {\epsilon }}}x^{\ell (\gamma )}}$.

Il a été montré plus tard que ${\displaystyle E_{T,L}^{x_{c}}=0}$ mais nous n'avons pas besoin de cela pour la preuve[7].

Nous nous retrouvons avec la relation ${\displaystyle 1=\cos(3\pi /8)A_{T,L}^{x_{c}}+B_{T,L}^{x_{c}}}$. De là, nous pouvons déduire l'inégalité ${\displaystyle A_{T+1}^{x_{c}}-A_{T}^{x_{c}}\leq x_{c}(B_{T+1}^{x_{c}})^{2}}$.

Et arriver par induction à une limite inférieure strictement positive pour ${\displaystyle B_{T}^{x_{c}}}$. Puisque ${\displaystyle Z(x_{c})\geq \sum _{T>0}B_{T}^{x_{c}}=\infty }$nous avons établi que ${\displaystyle \mu \geq {\sqrt {2+{\sqrt {2}}}}}$.

Pour l'inégalité inverse, pour un chemin auto-évitant arbitraire d'un treillis hexagonal, nous procédons à une décomposition canonique due à Hammersley et Welsh du chemin  dans les ponts de largeurs ${\displaystyle T_{-I}<\cdots <T_{-1}}$ et ${\displaystyle T_{0}>\cdots >T_{j}}$ . Notez que nous pouvons lier ${\displaystyle B_{T}^{x}\leq (x/x_{c})^{T}B_{T}^{x_{c}}\leq (x/x_{c})^{T}}$ce qui implique ${\displaystyle \prod _{T>0}(1+B_{T}^{x})<\infty }$.

Enfin, il est possible de lier la fonction de partition aux fonctions de partition de pont : ${\displaystyle Z(x)\leq \sum _{T_{-I}<\cdots <T_{-1},\;T_{0}>\cdots >T_{j}}2\left(\prod _{k=-I}^{j}B_{T_{k}}^{x}\right)=2\left(\prod _{T>0}(1+B_{T}^{x})\right)^{2}}$.

Nous obtenons donc ${\displaystyle \mu ={\sqrt {2+{\sqrt {2}}}}}$ comme souhaité.

Flory a estimé la distance moyenne de l'extrémité ${\displaystyle w_{n}}$ au point de départ O d'un chemin auto-évitant du réseau carré de longueur n : ${\displaystyle {\sqrt {{\frac {1}{c_{n}}}\sum _{\mathrm {CAE\;de\;longueur\;} n}\mathrm {dist} (0,w_{n})^{2}}}}$ à ${\displaystyle n^{3/4}}$(alors que celle-ci est de ${\displaystyle n^{1/2}}$pour un chemin quelconque.)

L'exposant de mise à l'échelle ${\displaystyle 3/4}$ et la constante universelle ${\displaystyle 11/32}$ pourrait être justifiés si les chemins auto-évitants possédaient un invariant conforme d'échelle limite, conjecturé être une évolution de Schramm–Loewner (en) avec ${\displaystyle \kappa =8/3}$[8].

• Seuil de percolation (en).

• (en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Connective constant » (voir la liste des auteurs).

• Weisstein, Eric W. "Self-avoiding walk connective constant". MathWorld.

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