Constante de Prouhet-Thue-Morse

En mathématiques et dans ses applications, la constante de Prouhet-Thue-Morse, nommée d'après Eugène Prouhet, Axel Thue et Marston Morse, est le nombre ${\displaystyle \tau \,}$ dont le développement binaire est la suite de Prouhet-Thue-Morse. En d'autres termes,

${\displaystyle \tau =\sum _{i=0}^{\infty }{\frac {t_{i}}{2^{i+1}}}=0,412~454~033~640\ldots }$

où ${\displaystyle t_{i}}$ est le ${\displaystyle i}$^e terme de la suite de Prouhet-Thue-Morse.

La série génératrice pour ${\displaystyle t_{i}}$ est donnée par

${\displaystyle \tau (x)=\sum _{i=0}^{\infty }(-1)^{t_{i}}\,x^{i}={\frac {1}{1-x}}-2\sum _{i=0}^{\infty }t_{i}\,x^{i}}$

et peut être exprimée par

${\displaystyle \tau (x)=\prod _{n=0}^{\infty }(1-x^{2^{n}}).}$

Ceci est un produit de polynômes de Frobenius (en), et ainsi se généralise aux corps commutatifs arbitraires.

Kurt Mahler a montré que ce nombre est transcendant en 1929. Comme la suite de Prouhet-Thue-Morse est une suite automatique, ce fait résulte maintenant du théorème général que tout nombre défini par une suite automatique est soit rationnel, soit transcendant.