Constante de Golomb–Dickman

Soit a_n l'espérance — prise sur l'ensemble des permutations d'un ensemble de taille n — de la longueur du plus grand cycle de chaque permutation. La constante de Golomb-Dickman est définie par

${\displaystyle \lambda =\lim _{n\to \infty }{\frac {a_{n}}{n}}.}$

En termes probabilistes, ${\displaystyle n\lambda }$ est asymptotiquement l'espérance de la longueur du plus grand cycle d'une permutation de ${\displaystyle {\mathcal {S}}_{n}}$ uniformément distribuée.

En théorie des nombres, la constante de Golomb–Dickman apparait dans la taille moyenne des plus grand diviseurs premiers d'un entier. Plus précisément,

${\displaystyle \lambda =\lim _{n\to \infty }{\frac {1}{n}}\sum _{k=2}^{n}{\frac {\log(P_{1}(k))}{\log(k)}},}$

où ${\displaystyle P_{1}(k)}$ est le plus grand facteur premier de k. Donc si k est un entier à d chiffres, alors ${\displaystyle \lambda d}$ est en moyenne le nombre de chiffre du plus grand facteur premier de k.

La constante de Golomb–Dickman apparait aussi dans le problème arithmétique suivant. Quelle est la probabilité que le deuxième facteur premier de n soit plus petit que la racine du premier ? Asymptotiquement, cette probabilité vaut ${\displaystyle \lambda }$ :

${\displaystyle \lambda =\lim _{n\to \infty }{\text{Prob}}\left\{P_{2}(n)\leq {\sqrt {P_{1}(n)}}\right\}}$

où ${\displaystyle P_{2}(n)}$ est le deuxième plus grand facteur premier de n.

Enfin, la constante apparait lorsque l'on s'intéresse à la longueur moyenne du plus grand cycle de toute fonction d'un ensemble fini dans lui-même. Si X est un ensemble fini, on applique successivement la fonction f: X → X à n'importe quel élément x de cet ensemble, cela forme un cycle, montrant que pour un certain k ${\displaystyle f^{n+k}(x)=f^{n}(x)}$ pour n assez grand; le plus petit k respectant cette propriété est la longueur du cycle. Soit b_n la moyenne prise sur l'ensemble des fonctions d'un ensemble de taille n dans lui-même, de la taille du plus cycle. Purdom et Williams[2] ont montré que

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\frac {b_{n}}{\sqrt {n}}}={\sqrt {\frac {\pi }{2}}}\lambda .}$

Il y a plusieurs expression de ${\displaystyle \lambda }$. En particulier :

${\displaystyle \lambda =\int _{0}^{1}e^{\mathrm {Li} (t)}\,dt}$

où ${\displaystyle \mathrm {Li} (t)}$ est la fonction logarithme intégral,

${\displaystyle \lambda =\int _{0}^{\infty }e^{-t-E_{1}(t)}\,dt}$

où ${\displaystyle E_{1}(t)}$ est la fonction exponentielle intégrale, et

${\displaystyle \lambda =\int _{0}^{\infty }{\frac {\rho (t)}{t+2}}\,dt}$

et

${\displaystyle \lambda =\int _{0}^{\infty }{\frac {\rho (t)}{(t+1)^{2}}}\,dt}$

où ${\displaystyle \rho (t)}$ est la fonction de Dickman.

• Permutations aléatoires
• Combinatoire analytique

• (en) Eric W. Weisstein, « Golomb-Dickman Constant », sur MathWorld
• suite A084945 de l'OEIS, décimale de la constante de Golomb-Dickman
• Steven R. Finch, Mathematical Constants, Cambridge University Press, 2003, 284–286 p. (ISBN 0-521-81805-2, lire en ligne)

• (en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Golomb–Dickman constant » (voir la liste des auteurs).

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