Constante de Gelfond

En mathématiques, la constante de Gelfond est le nombre réel transcendant $e π$ , c'est-à-dire $e$ à la puissance $π$ .

Sa transcendance fut démontrée en 1929 par Alexandre Gelfond. C'est un cas particulier de son théorème de 1934. En effet, les nombres $-1$ (différent de 0 et 1) et $- i$ (non rationnel) sont algébriques, or

{\rm {e}}^{\pi }=({\rm {e}}^{{\rm {i}}\pi })^{-{\rm {i}}}=(-1)^{-{\rm {i}}}

(En effet, $e π = e iπ\times(-i)$ et $e iπ = -1$ ).

Cette constante fut mentionnée dans le septième problème de Hilbert. Une constante reliée est la constante de Gelfond-Schneider, 2^√2.

Valeur numérique

Sous forme décimale, la constante est égale à

{\rm {e}}^{\pi }\approx 23,140692632.

Sa valeur numérique peut être trouvée avec l'itération

k_{n}={\frac {1-{\sqrt {1-k_{n-1}^{2}}}}{1+{\sqrt {1-k_{n-1}}}}}

où $k_{0}={\frac {1}{\sqrt {2}}}.$

Après N itérations, l'approximation est donnée par

\left({\frac {k_{N}}{4}}\right)^{\frac {-1}{2^{N}}}.

Le nombre

{\rm {e}}^{\pi }-\pi =19,99909998\ldots

(en) Samuel W. Gilbert, The Riemann Hypothesis and the Roots of the Riemann Zeta Function, BookSurge, 2009, 140 p. (ISBN 978-1-4392-1638-5, lire en ligne), p. 93

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