Constante de Gauss
En mathématiques, la constante de Gauss, notée G, est l'inverse de la moyenne arithmético-géométrique de 1 et de la racine carrée de 2[1],[2] :
- [3].
Cette constante porte le nom du mathématicien allemand Carl Friedrich Gauss car il a découvert le [4],[5] que :
- .
Relation avec d'autres constantes
La constante de Gauss peut être exprimée grâce à la valeur de la fonction bêta en (1/4, 1/2) :
soit encore, grâce à la valeur de la fonction gamma en 1/4 :
et puisque π et Γ(1/4) sont algébriquement indépendants, la constante de Gauss est transcendante.
Constantes de la lemniscate
La constante de Gauss peut être utilisée dans la définition des constantes de la lemniscate.
- La première est
- où est la longueur de la lemniscate de Bernoulli de paramètre a = 1
- La seconde est
- .
Autres formules
La constante de Gauss peut également s'exprimer grâce à la fonction thêta de Jacobi :
- .
Une série rapidement convergente vers la constante de Gauss est :
- .
La constante est aussi donnée par un produit infini :
- .
La constante de Gauss a pour fraction continue [0; 1, 5, 21, 3, 4, 14, …][6].
Notes et références
- (en) Eric W. Weisstein, « Gauss's Constant », sur MathWorld.
- (en) Keith B. Oldham, Jan C. Myland et Jerome Spanier, An Atlas of Functions : With Equator, New York, NY, Springer, , 748 p. (ISBN 978-0-387-48806-6, lire en ligne), p. 15.
- Pour les 20 000 premiers chiffres décimaux, voir ce lien de la suite A014549 de l'OEIS.
- Pour plus de détails, voir le § Histoire de l'article sur la moyenne arithmético-géométrique.
- (en) David A. Cox, « The arithmetic-geometric mean of Gauss », L'Enseignement mathématique, vol. 30, , p. 275-330 (DOI 10.5169/seals-53831).
- Pour les 20 000 premiers termes, voir ce lien de la suite A053002 de l'OEIS.