Constante MRB

La constante MRB (ou constante de Marvin Ray Burns) est une constante mathématique , dont les premières décimales sont 0.187859… suite A037077 de l'OEIS. La constante est nommée d'après Marvin Ray Burns qui l'a découvert, et a publié sa découverte en 1999[1]. Burns a initialement nommé cette constante "rc" pour root constant[2] (constante de la racine en français) mais, sur la suggestion de Simon Plouffe, la constante a été renommée[3].

Graphe des premières 100 sommes partielles de ${\displaystyle (-1)^{k}(k^{1/k}-1)}$

La constante MRB est définie comme la limite supérieure de la somme partielle[4]^,[5]

${\displaystyle s_{n}=\sum _{k=1}^{n}(-1)^{k}k^{1/k}}$

Quand ${\displaystyle n}$ tend vers l'infini, la série à pour limite inférieure et supérieure −0.812140… et 0.187859…, séparé par un segment de longueur 1. La constante peut aussi être explicitée comme suit:

${\displaystyle 0.187859\ldots =\sum _{k=1}^{\infty }(-1)^{k}(k^{1/k}-1)=\sum _{k=1}^{\infty }\left((2k)^{1/(2k)}-(2k-1)^{1/(2k-1)}\right).}$

Il n'y a pas d'expression de forme fermée de la constante MRB[6], et on se sait rien de l'algebricité, de la transcendance, ni même de l'irrationalité de la constante MRB.