Classification des groupes simples finis

Dans l'étude de la classification des groupes finis simples, les mathématiciens ont été amenés à découvrir des êtres mathématiques inattendus qu'ils appelèrent des groupes sporadiques pour marquer qu'ils n'apparaissent dans aucune des listes générales. La classification montre que tout groupe fini simple est de l'un des types suivants :

• un groupe cyclique dont l'ordre est un nombre premier,
• un groupe alterné de degré au moins égal à 5,
• un groupe classique (groupe linéaire spécial projectif, symplectique, orthogonal ou unitaire sur un corps fini, comme le groupe simple d'ordre 168),
• un groupe de type de Lie exceptionnel ou tordu (on inclut en général le groupe de Tits dans ce cas),
• un des 26 groupes sporadiques.

Le théorème a des applications dans beaucoup de branches de mathématiques, les questions sur les groupes finis pouvant souvent se réduire à des questions sur les groupes finis simples, et donc à une énumération de cas.

Quelquefois le groupe de Tits est regardé comme un groupe sporadique (dans ce cas, il existe 27 groupes sporadiques) parce qu'il n'est pas à strictement parler un groupe de type de Lie.

En raison de la longueur, de la complexité du travail publié et de la non-publication d'une partie des éléments de preuves, certains doutes ont perduré un temps quant à la complétude et à la correction de la démonstration : pendant plus d'une décennie, les experts (parmi lesquels Michael Aschbacher et Jean-Pierre Serre[1]) ont émis un « doute sérieux » à propos de la classification (non publiée) des groupes quasi-minces (en) de Geoff Mason. En 1983, Daniel Gorenstein put annoncer la fin du processus de classification des groupes finis simples, basée en partie sur l'affirmation que le cas quasi-mince était achevé.

Pour clore le débat, Aschbacher leva ce doute au début des années 1990, sans publier cependant son résultat. Finalement, Aschbacher en collaboration avec Stephen D. Smith (de) publia une démonstration différente en deux volumes d'environ 1 300 pages.

Reprochant l'extrême longueur de la démonstration de classification des groupes simples finis, des travaux, dits « révisionnistes », conduits à l'origine par Daniel Gorenstein, ont recherché une démonstration plus simple. Cette démarche fut appelée « démonstration de classification de deuxième génération ».

Six volumes ont été publiés jusqu'en 2005 et des manuscrits pour la plupart du reste de la démonstration existent. Les deux volumes d'Aschbacher et de Smith ont été écrits dans le but de fournir une démonstration pour le cas quasi-mince qui fonctionnerait aussi bien pour la démonstration de première que pour la démonstration de la deuxième génération. Il a été estimé que la nouvelle démonstration se montera à approximativement 5 000 pages lorsqu'elle sera complète. Les nouvelles démonstrations ont été écrites dans un style plus prolixe.

Gorenstein et ses collaborateurs ont donné plusieurs arguments pour l'existence d'une démonstration plus simple. Le plus pertinent est que l'énoncé final et correct est maintenant connu, donc les résultats intermédiaires nécessitent seulement de pouvoir s'appliquer aux groupes que nous connaissons pour pouvoir être exhaustifs. En revanche, au cours du processus original de démonstration, comme personne ne savait combien il y avait de groupes sporadiques, certains (par exemple, les groupes de Janko) n'ayant été découverts que lors du processus d'élaboration de la démonstration du théorème de classification, il fut nécessaire d'appliquer les techniques les plus générales.

D'autre part, comme le résultat final et son énoncé étaient inconnus à l'origine et ce pendant une longue période, la démonstration de première génération fut la somme de théorèmes complets et séparés, classifiant des sous-cas importants. La plus grosse partie du travail original a donc été consacrée à l'analyse de nombreux cas spécifiques. Éléments d'une démonstration plus large, bon nombre de ces cas particuliers ont pu être mis en attente jusqu'à ce que des propositions plus puissantes les englobent. Cette révision a un prix, à savoir que les théorèmes de première génération dépendent de la classification complète, perdant ainsi leur démonstration courte.

En outre, bon nombre de théorèmes de la première génération se recouvraient, divisant ainsi les cas possibles de façon sous-optimale. La démonstration révisée, quant à elle, vise à relier les différentes analyses de cas, pour en éliminer les redondances.

Enfin, les théoriciens des groupes finis ont acquis de l'expérience et ont élaboré des techniques plus efficaces.

• (en) Michael Aschbacher, « The Status of the Classification of the Finite Simple Groups », Notices Amer. Math. Soc., août 2004
• (en) Daniel Gorenstein, Richard Lyons (de) et Ronald Solomon (de), The Classification of the Finite Simple Groups, AMS, vol. 1, 1994 ; vol. 2, 1996 ; vol. 3, 1998 ; vol. 4, 1999 ; vol. 5, 2002 ; vol. 6, 2005
• (en) Ronald Solomon, « On Finite Simple Groups and their Classification », Notices Amer. Math. Soc., février 1995
• (en) J. H. Conway, R. T. Curtis, S. P. Norton, R. A. Parker (en) et R. A. Wilson, ATLAS of Finite Groups : Maximal Subgroups and Ordinary Characters for Simple Groups, OUP, 1985, 252 p. (ISBN 978-0-19-853199-9)
• (en) Orders of non abelian simple groups : inclut une liste de tous les groupes simples non abéliens jusqu'à l'ordre 10 000 000 000.
• (en) Atlas of Finite Group Representations : contient les représentations et d'autres données pour beaucoup de groupes finis simples, incluant les groupes sporadiques.

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