Chomp (jeu)

Chomp est un jeu mathématique à deux joueurs, joué sur un rectangle composé de blocs carrés, souvent représenté comme une tablette de chocolat. Chaque joueur choisit un carré à tour de rôle, et le mange, ainsi que tous les carrés situés à sa droite ou plus bas. Le carré en haut à gauche est empoisonné et celui qui le mange perd la partie. C'est un jeu impartial, c'est-à-dire que les coups possibles ne dépendent que de position courante, mais pas du joueur dont c'est le tour.

Dans Chomp, le joueur choisit de manger un carré de chocolat, et du même coup tous les carrés en bas à droite. Attention, il ne faut pas manger le carré en haut à gauche qui est empoisonné.

Le jeu a été inventé en 1952 par Frederik "Fred" Schuh, en termes de choix de diviseurs à partir d'un entier donné[1], puis ré-inventé indépendamment en 1974 par David Gale sous sa formulation actuelle[2].

Exemple de partie

Voici un exemple de partie à partir d'une tablette de taille 5x4

Exemple de partie sur une tablette de taille 5x4.

Le joueur A commence. Il choisit le carré en (5, 2) et mange les carrés deux en bas à droite, en (5, 2) et (5, 1). Le joueur B choisit le carré en (2, 1) et mange alors 3 carrés. Puis le joueur A choisit le carré en (2, 4) et mange 11 carrés. Le joueur B choisit le carré en (1, 3) et mange trois carrés de la seule colonne restante. Enfin le joueur A est obligé de manger le seul carré restant, celui en (1, 4) qui est empoisonné. Le joueur A perd donc la partie.

Stratégie gagnante

Sur la tablette de taille 1x1, le premier joueur perd la partie puisqu'il doit manger le seul carré empoisonné. Pour toutes les tablettes d'une taille supérieure à 1x1, on peut montrer que le premier joueur a une stratégie gagnante. On peut le montrer par vol de stratégie (strategy-stealing argument en anglais), comme pour le jeu de Hex.

Supposons que le 2e joueur possède une stratégie gagnante. Cette stratégie contre tous les premiers coups possibles du 1er joueur. Supposons que 1er joueur mange le carré en bas à droite. Le 2e joueur répond avec sa stratégie gagnante en mangeant un certain carré (n, m). Mais dans ce cas, le 1er joueur aurait pu lui-même jouer le coup (n, m) dès le début, et appliquer ensuite lui-même la stratégie gagnante. Ceci prouve que le deuxième joueur ne peut pas posséder de stratégie gagnante. On parle de preuve par vol de stratégie parce que le deuxième joueur se fait voler toute stratégie potentielle possible par le premier.

Par contre, le vol de stratégie est un argument non-constructif : il permet de savoir que le premier joueur dispose d'un coup gagnant, mais n'indique pas lequel.

Chomp tridimensionnel

Le jeu de Chomp peut se généraliser à trois dimensions[réf. nécessaire]. La tablette de chocolat devient alors un pavé droit. Le pavé de chocolat est découpé en cubes de chocolat, indexés par (i, j, k), et le cube (1, 1, 1) est bien sûr empoisonné. Un coup consiste à manger un cube de chocolat (i0, j0, k0), ainsi que les cubes (i, j, k) dont tous les indices sont supérieurs ou égaux, c'est-à-dire , et .

On peut généraliser de la même manière à n dimensions[réf. nécessaire].

Références
  1. Fred Schuh. Spel van delers, Nieuw Tijdschrift voor Wiskunde 39 (1952) 299-304
  2. D. Gale, A curious Nim-type game, Amer. Math. Monthly 81 (1974) 876-879.

Liens externes
  • The game of Chomp, une page en anglais détaillant l'historique et la théorie mathématique du jeu.
  • Portail des jeux
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