CIE XYZ

Du fait de la trivariance visuelle, le repérage d'une couleur peut se faire par un ensemble de trois paramètres associés à un point représentatif dans un espace vectoriel à trois dimensions. Plus précisément, une couleur peut être représentée par un vecteur dont le module correspond au niveau lumineux et la direction à la chromaticité.

Une couleur quelconque est définie par un vecteur {C} dont les composantes C₁, C₂ et C₃, appelées composantes trichromatiques, sont comptées sur chacun des trois axes non coplanaires d'un système de coordonnées. Les vecteurs unitaires {P₁}, {P₂} et {P₃}, représentent des couleurs primaires non métamères deux à deux et on peut écrire

${\displaystyle \{C\}=C_{1}\cdot \{P_{1}\}+C_{2}\cdot \{P_{2}\}+C_{3}\cdot \{P_{3}\}.}$

L'équation signifie que la couleur {C} est égalisée par un mélange des trois couleurs primaires {P₁}, {P₂} et {P₃}.

Par ailleurs, on peut considérer tout rayonnement lumineux comme résultant de la synthèse additive d'un grand nombre de rayonnements s'étendant chacun sur un domaine de longueur d'onde avec une fonction chromatique de pondération f(λ) représentant le spectre de la source de lumière :

${\displaystyle \{C\}=\int _{0}^{\infty }f(\lambda )\cdot \{P_{\lambda }\}\,\mathrm {d} \lambda }$

où {P_λ} désigne une source primaire monochromatique de longueur d'onde λ. Chacune des sources monochromatiques {P_λ} peut être décomposée sur les sources primaires {P₁}, {P₂} et {P₃} :

${\displaystyle \{P_{\lambda }\}=c_{1}(\lambda )\cdot \{P_{1}\}+c_{2}(\lambda )\cdot \{P_{2}\}+c_{3}(\lambda )\cdot \{P_{3}\}}$

où c₁(λ), c₂(λ) et c₃(λ) désignent les composantes trichromatiques spectrales déterminées une fois pour toutes par la CIE à partir d'un panel d'observateurs.

À partir de ces égalités on obtient

${\displaystyle \{C\}=\int _{0}^{\infty }f(\lambda )c_{1}(\lambda )\,\mathrm {d} \lambda \cdot \{P_{1}\}+\int _{0}^{\infty }f(\lambda )c_{2}(\lambda )\,\mathrm {d} \lambda \cdot \{P_{2}\}+\int _{0}^{\infty }f(\lambda )c_{3}(\lambda )\,\mathrm {d} \lambda \cdot \{P_{3}\}.}$

et par identification avec la première équation, on déduit les composantes C₁, C₂ et C₃ :

${\displaystyle {\begin{cases}\displaystyle C_{1}=\int _{0}^{\infty }f(\lambda )c_{1}(\lambda )\,\mathrm {d} \lambda \\\displaystyle C_{2}=\int _{0}^{\infty }f(\lambda )c_{2}(\lambda )\,\mathrm {d} \lambda \\\displaystyle C_{3}=\int _{0}^{\infty }f(\lambda )c_{3}(\lambda )\,\mathrm {d} \lambda .\end{cases}}}$

On voit ainsi qu'une fois définies les composantes trichromatiques spectrales c₁(λ), c₂(λ) et c₃(λ), tout stimulus coloré présentant un spectre f(λ) peut être représenté par un point de coordonnées C₁, C₂ et C₃.

Fonctions colorimétriques de l'observateur CIE 2° de référence x(λ), y(λ) et z(λ).

La CIE a défini en 1931 des composantes trichromatiques spectrales désignées par x(λ), y(λ) et z(λ) et appelées fonctions colorimétriques de l'observateur CIE 2° de référence ou fonctions colorimétriques de l'observateur CIE 1931 de référence. Elles représentent la réponse chromatique d'un observateur normalisé[1]. Les valeurs normalisées sont tabulées par pas de 5 nm entre 380 nm et 780 nm[1]^,[2]^,[3]^,[4] pour la plupart des applications. Si la précision n'est pas suffisante, il est recommandé d'utiliser les valeurs tabulées entre 360 nm et 830 nm par pas de 1 nm[5]^,[6].

Historiquement, elles ont été choisies, pour pallier certains défauts de l'espace CIE RGB, de manière à avoir les propriétés suivantes :

• Les nouvelles fonctions devaient être partout supérieures ou égales à zéro. Cette contrainte impose que les trois couleurs primaires choisies {X}, {Y} et {Z} soient trois couleurs virtuelles (en ce sens qu'elles ne correspondent pas à un stimulus qui puisse exister) formant un espace de couleur dans lequel s'insèrent toutes les couleurs réelles, autrement dit tous les gamuts des espaces concrets tels que CIE RGB, ce qui a donné naissance à la colorimétrie scientifique.
• La fonction y(λ) qui décrit la variation de sensation d'intensité lumineuse perçue en fonction de la longueur d'onde devait être exactement égale à la fonction d'efficacité lumineuse spectrale relative photopique CIE 1924 V(λ) pour l'observateur photopique CIE 1931 de référence.
• Pour le blanc équi-énergétique de référence {E} (densité spectrale de puissance plate), les trois composantes X, Y et Z devaient être égales.

Comparaison entre la réponse normalisée des cônes M et la fonction colorimétrique de l'observateur CIE 2° de référence y(λ).

Une comparaison est faite entre la réponse normalisée des cônes M et la fonction colorimétrique de luminosité y(λ) de l'observateur photopique CIE 1931 de référence. Pour juger de l'importance de la luminance relative (luminosité) de lumières de couleurs différentes dans des conditions de bon éclairement, les êtres humains perçoivent la lumière dans les parties vertes du spectre comme plus lumineuse que la lumière rouge ou bleue de puissance égale. La fonction de luminosité qui décrit les luminosités perçues de différentes longueurs d'onde est donc plus ou moins analogue à la réponse des cônes M.

L'espace CIE XYZ capitalise sur ce fait en définissant Y comme une grandeur égale à la luminance absolue ou à la luminance relative (selon la constante de normalisation k choisie), et plus généralement à toute grandeur photométrique absolue ou relative. Z est quasi égale la réponse normalisée des cônes S (stimulation bleue), et X est une combinaison linéaire des réponses normalisées des cônes M et L choisie pour donner une valeur positive. Les valeurs du tristimulus XYZ sont donc analogues, mais non égales, aux réponses des cônes LMS de l'œil humain. Définir Y comme la luminance donne le résultat utile que pour toute valeur Y donnée, le plan XZ contiendra toutes les chromaticités possibles à cette luminance.

L'espace CIE XYZ définit des couleurs primaires {X}, {Y} et {Z} telles que le plan XZ soit le plan de luminance lumineuse absolue ou relative nulle (et plus généralement le plan de grandeur photométrique absolue ou relative nulle) et que l'axe Y soit l'axe des luminances lumineuses absolues ou relatives (et plus généralement l'axe des grandeurs photométriques absolues ou relatives).

Un rayonnement de luminance énergétique absolue ou relative f(λ) (et plus généralement de grandeur radiométrique absolue ou relative f(λ)) est associé à une couleur

${\displaystyle \{C\}=X\cdot \{\mathrm {X} \}+Y\cdot \{\mathrm {Y} \}+Z\cdot \{\mathrm {Z} \}}$

avec les composantes trichromatiques X, Y, Z définies par[1]

${\displaystyle {\begin{cases}\displaystyle X=k\int _{0}^{\infty }f(\lambda ){\overline {x}}(\lambda )\,\mathrm {d} \lambda \\\displaystyle Y=k\int _{0}^{\infty }f(\lambda ){\overline {y}}(\lambda )\,\mathrm {d} \lambda \\\displaystyle Z=k\int _{0}^{\infty }f(\lambda ){\overline {z}}(\lambda )\,\mathrm {d} \lambda ,\end{cases}}}$

où

• k est une constante de normalisation ;
• x(λ), y(λ) et z(λ) sont les fonctions colorimétriques de l'observateur CIE 1931 de référence.

Pour une source de lumière primaire, on utilise souvent, par convention, des composantes trichromatiques absolues, en prenant[1]

• f(λ) = SPD(λ) la densité spectrale absolue de la grandeur radiométrique de la source primaire ;
• k = K_m = 683,002 lm/W l'efficacité lumineuse spectrale photopique maximale, atteinte pour une lumière monochromatique de fréquence 540 THz, ce qui correspond à une longueur d'onde de 555 nm dans l'air.

Avec cette convention, la fonction colorimétrique y(λ) étant égale à la fonction d'efficacité lumineuse spectrale relative photopique V(λ), Y est égale à la grandeur photométrique absolue associée à f(λ). Par exemple, f(λ) = Φ_e,λ(λ) la densité spectrale de flux énergétique donne Y = Φ_v le flux lumineux, et f(λ) = L_e,λ(λ) la densité spectrale de luminance énergétique donne Y = L_v la luminance lumineuse.

Pour une source de lumière secondaire (en réflexion ou en transmission), on utilise souvent, par convention, des composantes trichromatiques relatives, en prenant[1]

• f(λ) = R_λ(λ) SPD_rel(λ), f(λ) = T_λ(λ) SPD_rel(λ), f(λ) = R_Ω,λ(λ) SPD_rel(λ) ou f(λ) = T_Ω,λ(λ) SPD_rel(λ) où R_λ(λ) est la réflectance énergétique hémisphérique spectrale, T_λ(λ) est la transmittance énergétique hémisphérique spectrale, R_Ω,λ(λ) est la réflectance énergétique directionnelle spectrale, T_Ω,λ(λ) est la transmittance énergétique directionnelle spectrale et SPD_rel(λ) est la densité spectrale relative de la grandeur radiométrique de la source primaire éclairant la source secondaire à évaluer ;
• k = 1/( ∫₀^∞ SPD_rel(λ) y(λ) dλ) une constante choisie telle que Y = 1 pour les sources secondaires dont R_λ(λ), T_λ(λ), R_Ω,λ(λ) ou T_Ω,λ(λ) est égale 1 pour toutes les longueurs d'onde, c'est-à-dire pour les diffuseurs parfaits.

Avec cette convention, la fonction colorimétrique y(λ) étant égale à la fonction d'efficacité lumineuse spectrale relative photopique V(λ), Y est égale au facteur lumineux associé au facteur énergétique spectral de la source secondaire. Par exemple, f(λ) = R_λ(λ) SPD_rel(λ) donne Y = R la réflectance lumineuse hémisphérique, et f(λ) = T_λ(λ) SPD_rel(λ) donne Y = T la transmittance lumineuse hémisphérique.

Dans le cadre de la photographie numérique, le système Truecolor conduit à définir Y entre 0 et 255. Dans le domaine de l'audiovisuel, le signal analogique Y évolue entre 0 V pour le noir à 0,7 V pour le blanc.

Deux lumières qui possèdent les mêmes composantes trichromatiques, malgré des densités spectrales différentes, sont perçues de façon identique : elles sont dites métamères.

Les coordonnées trichromatiques x, y, z, de la couleur indiquent les proportions des trois couleurs primaires {X}, {Y} et {Z} et sont définies à partir des composantes trichromatiques X, Y, Z par[1]

${\displaystyle {\begin{cases}\displaystyle x={\frac {X}{X+Y+Z}}\\\displaystyle y={\frac {Y}{X+Y+Z}}\\\displaystyle z={\frac {Z}{X+Y+Z}}.\end{cases}}}$

Ces formules conduisent à l'espace CIE xyY où les coordonnées x et y sont utilisées pour repérer le point représentatif de la couleur sur le diagramme de chromaticité[7]. La composante Y la même que dans l'espace CIE XYZ.

Par définition, la répartition spectrale du stimulus blanc équi-énergétique {E} est uniforme. On a donc f(λ) = f_E, d'où les composantes trichromatiques suivantes

${\displaystyle {\begin{cases}\displaystyle X_{\mathrm {E} }=kf_{\mathrm {E} }\int _{0}^{\infty }{\overline {x}}(\lambda )\,\mathrm {d} \lambda \\\displaystyle Y_{\mathrm {E} }=kf_{\mathrm {E} }\int _{0}^{\infty }{\overline {y}}(\lambda )\,\mathrm {d} \lambda \\\displaystyle Z_{\mathrm {E} }=kf_{\mathrm {E} }\int _{0}^{\infty }{\overline {z}}(\lambda )\,\mathrm {d} \lambda \end{cases}}}$

et les coordonnées trichromatiques suivantes

${\displaystyle {\begin{cases}\displaystyle x_{\mathrm {E} }={\frac {1}{3}}\\\displaystyle y_{\mathrm {E} }={\frac {1}{3}}\\\displaystyle z_{\mathrm {E} }={\frac {1}{3}}\end{cases}}}$

puisque par définition

${\displaystyle \int _{0}^{\infty }{\overline {x}}(\lambda )\,\mathrm {d} \lambda =\int _{0}^{\infty }{\overline {y}}(\lambda )\,\mathrm {d} \lambda =\int _{0}^{\infty }{\overline {z}}(\lambda )\,\mathrm {d} \lambda .}$

Le point E représentatif du blanc équi-énergétique {E} dans le diagramme se situe au centre du triangle XYZ. Les couleurs deviennent moins saturées vers le centre, aboutissant à un cœur de lumière blanche.

Dans le diagramme, si une couleur {C} résulte de la synthèse additive de deux couleurs {C₁} et {C₂}, la relation d'addition {C} = {C₁} + {C₂} se traduit par le fait que les points C, C₁ et C₂ sont alignés selon une même droite.

De façon analogue, une couleur quelconque {C} peut s'exprimer comme l'addition du blanc équi-énergétique {E} et d'une couleur pure (située sur le lieu spectral), appelée couleur dominante {C_dom} :

${\displaystyle \{C\}=\{C_{\mathrm {dom} }\}+\{\mathrm {E} \}.}$

Inversement le blanc équi-énergétique {E} peut en théorie être obtenu par addition d'une couleur et d'une couleur pure, appelée couleur complémentaire {C_compl} :

${\displaystyle \{\mathrm {E} \}=\{C\}+\{C_{\mathrm {compl} }\}.}$

On définit la pureté d'excitation p_e de la couleur de point représentatif C par le rapport

${\displaystyle p_{\mathrm {e} }={\frac {\overline {C\mathrm {E} }}{\overline {C_{\mathrm {dom} }\mathrm {E} }}}={\sqrt {\frac {(x-x_{\mathrm {E} })^{2}+(y-y_{\mathrm {E} })^{2}}{(x_{\mathrm {dom} }-x_{\mathrm {E} })^{2}+(y_{\mathrm {dom} }-y_{\mathrm {E} })^{2}}}}.}$

La pureté d'excitation vaut 0 pour le blanc équi-énergétique et 1 pour une couleur monochromatique.

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