Cône de révolution

Aire latérale et volume du cône solide (tronc de cône délimité par un demi cône et un plan à une distance h du sommet coupant le cône suivant un cercle de rayon r)

${\displaystyle A=\pi rR=\pi r{\sqrt {r^{2}+h^{2}}},}$${\displaystyle V={\frac {\pi }{3}}r^{2}h.}$

Dans le cas général, si les deux plans, distants de h coupent le cône suivant deux cercles de rayon r₁ et r₂, l'aire latérale et le volume valent [1] :

${\displaystyle A=\pi (r_{1}+r_{2}){\sqrt {(r_{1}-r_{2})^{2}+h^{2}}}=\pi (r_{1}+r_{2})S}$

Le tronc de cône de hauteur h et de rayon de base r a pour patron plan un disque de rayon R dans lequel on a découpé un secteur d'angle ${\displaystyle \theta }$.

La relation entre R,r et ${\displaystyle \theta }$ est alors : ${\displaystyle {\frac {R}{r}}={\frac {2\pi }{2\pi -\theta }}}$. En éliminant r entre cette relation et ${\displaystyle R^{2}=r^{2}+h^{2}}$, on obtient : ${\displaystyle h=R{\sqrt {{\frac {\theta }{2\pi }}\left(2-{\frac {\theta }{2\pi }}\right)}}}$.

La relation entre ${\displaystyle \theta }$ et ${\displaystyle \phi }$ est : ${\displaystyle \theta =2\pi (1-\sin \phi )}$.

Partant de la formule ${\displaystyle V={\frac {\pi }{3}}(R^{2}-h^{2})h}$, on obtient que le volume maximal à R fixé est obtenu pour ${\displaystyle h=R/{\sqrt {3}}}$ [2].

Le volume maximal vaut donc ${\displaystyle {\frac {2\pi }{27}}{\sqrt {3}}R^{2}}$, le demi-angle au sommet ${\displaystyle \phi =\arctan {(1/{\sqrt {2}})}\approx 35^{\circ }16'}$ (voir la suite A195695 de l'OEIS) et l'angle au centre du secteur de disque ${\displaystyle \theta =2\pi \left(1-{\sqrt {\frac {2}{3}}}\right)\approx 66^{\circ }4'}$.