Attracteur de Rössler

L'attracteur de Rössler est l'attracteur associé au système dynamique de Rössler, un système de trois équations différentielles non linéaires.

L'attracteur de Rössler

Ces équations différentielles définissent un système dynamique continu et tridimensionnel qui présente des caractéristiques chaotiques. L'ensemble des trajectoires à long terme de ce système définissent un attracteur étrange aux propriétés fractales.

Historique

Otto Rössler conçut son attracteur en 1976 dans un but purement théorique, mais ces équations s'avérèrent utiles dans la modélisation de l'équilibre dans les réactions chimiques. L'article original de Rössler mentionne que son système a été conçu pour fonctionner d'une façon similaire au système de Lorenz, mais également pour être plus simple à analyser, il ne présente qu'une seule spirale.

Le système de Rössler

Les équations de ce système sont

{\frac {\mathrm {d} x}{\mathrm {d} t}}(t)=-y(t)-z(t)

{\frac {\mathrm {d} y}{\mathrm {d} t}}(t)=x(t)+ay(t)

{\frac {\mathrm {d} z}{\mathrm {d} t}}(t)=b+z(t)(x(t)-c)

Rössler étudia l'attracteur pour $a = 0,2$ , $b = 0,2$ , et $c = 5,7$ , mais les propriétés de $a = 0,1$ , $b = 0,1$ , et $c = 14$ sont aujourd'hui plus étudiées.

Propriétés

Certaines propriétés du système de Rössler sont déduites par des méthodes linéaires et des vecteurs propres, mais les caractéristiques principales de ce système requiert des méthodes non linéaires comme les sections de Poincaré ou les diagrammes de bifurcation.

Une orbite dans l'attracteur suit une spirale proche du plan $(x, y)$ autour d'un point fixe instable. S'éloignant progressivement de ce point fixe, un second point fixe provoque une élévation de cette orbite et une redescente vers le plan $(x, y)$ proche du premier point fixe, réintégrant l'orbite dans la spirale.

Bien que les valeurs des différentes variables soient bornées, il est apparent que ces oscillations sont chaotiques.

L'attracteur possède une structure fractale en mille-feuille, dont la dimension fractale a été estimée entre 2,01 et 2,02, donc très proche d'une surface plane.

Vue depuis le plan $(x, y)$

L'un des intérêts de l'attracteur de Rössler est le caractère linéaire de deux de ses équations. En imposant $z = 0$ , on peut mener l'examen de sa projection dans le plan $(x, y)$ :

{\frac {\mathrm {d} x}{\mathrm {d} t}}(t)=-y(t)

{\frac {\mathrm {d} y}{\mathrm {d} t}}(t)=x(t)+ay(t)

Points fixes

Pour trouver les points fixes, les trois équations de Rössler sont posées égales à zéro. Le système est alors résolu et donne le résultat :

x={\frac {c\pm {\sqrt {c^{2}-4ab}}}{2}}

y=-\left({\frac {c\pm {\sqrt {c^{2}-4ab}}}{2a}}\right)

z={\frac {c\pm {\sqrt {c^{2}-4ab}}}{2a}}

Ce qui, maintenant, peut être utilisé pour présenter les points fixes pour des valeurs données de paramètres :

\left({\frac {c+{\sqrt {c^{2}-4ab}}}{2}},{\frac {-c-{\sqrt {c^{2}-4ab}}}{2a}},{\frac {c+{\sqrt {c^{2}-4ab}}}{2a}}\right)

\left({\frac {c-{\sqrt {c^{2}-4ab}}}{2}},{\frac {-c+{\sqrt {c^{2}-4ab}}}{2a}},{\frac {c-{\sqrt {c^{2}-4ab}}}{2a}}\right)

Comme cité plus haut, l'un des points, instable, est situé au centre de la spirale et l'autre se situe hors de l'attracteur.

Régimes périodiques et chaotiques

Posant $a = 0,1$ et $b = 0,1$ et en faisant varier le paramètre $c$ , le système passe successivement par divers régimes périodiques ou chaotiques^[pas clair] :

$c = 4$ ⇒ période 1
$c = 6$ ⇒ période 2
$c = 8,5$ ⇒ période 4
$c = 9$ ⇒ chaotique
$c = 12$ ⇒ période 3
$c = 12,6$ ⇒ période 6
$c = 13$ ⇒ chaotique
$c = 18$ ⇒ chaotique

Bibliographie

E. N. Lorenz, « Deterministic nonperiodic flow », J. Atmos. Sci., vol. 20,‎ 1963, p. 130–141 (DOI 10.1175/1520-0469(1963)020<0130:DNF>2.0.CO;2)
O. E. Rössler, « An Equation for Continuous Chaos », Physics Letters, vol. 57A, n^o 5,‎ 1976, p. 397–398
O. E. Rössler, « An Equation for Hyperchaos », Physics Letters, vol. 71A, n^os 2,3,‎ 1979, p. 155–157
(en) Steven H. Strogatz, Nonlinear Dynamics and Chaos, Perseus publishing, 1994

Voir aussi

Articles connexes

Liens externes

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