Approximation de Cornish-Fisher

L'approximation de Cornish-Fisher permet de transformer le quantile, ou une réalisation, d'une loi normale en une réalisation d'une loi dont l'asymétrie et le kurtosis en excès ne sont pas nuls. On la doit à Edmund Alfred Cornish et Ronald Aylmer Fisher[1].

On approche la réalisation Z de la loi voulue telle que :

${\displaystyle F(Z)=N(z_{c})}$

Où :

• ${\displaystyle F}$ est la fonction de répartition de la loi Z
• ${\displaystyle N}$ est la fonction de répartition de la loi normale
• ${\displaystyle z_{c}}$ est un quantile ou une réalisation de la loi normale

On a :

${\displaystyle Z=z_{c}+(z_{c}^{2}-1){\frac {S}{6}}+(z_{c}^{3}-3z_{c}){\frac {K}{24}}-(2z_{c}^{3}-5z_{c}){\frac {S^{2}}{36}}}$

Où :

• ${\displaystyle S}$ = Skewness de la loi considérée (asymétrie)
• ${\displaystyle K}$ = Kurtosis en excès de la loi considérée

Pour que cette transformation marche elle doit être bijective. Une condition nécessaire et suffisante pour cela est que la dérivée ${\displaystyle {\frac {dZ}{dz_{c}}}}$ ne s'annule pas, ce qui se traduit par

${\displaystyle {\frac {S^{2}}{9}}-4\left({\frac {K}{8}}-{\frac {S^{2}}{6}}\right)\left(1-{\frac {K}{8}}+{\frac {5S^{2}}{36}}\right)\leq 0}$

En pratique en finance, K et S sont petits et K est positif (variables leptokurtiques) ; la condition est donc respectée.