Anneau de Goldman

Un anneau intègre ${\displaystyle R}$ est un anneau de Goldman si et seulement s’il vérifie les conditions équivalentes qui suivent :

1. Son corps des fractions est une extension simple de ${\displaystyle R}$
2. Son corps des fractions est une extension finie de ${\displaystyle R}$
3. L’intersection de ses idéaux premiers non nuls n’est pas réduite à 0
4. Il existe un élément ${\displaystyle u}$ non nul tel que pour tout idéal non nul ${\displaystyle I}$, il existe ${\displaystyle n\in N}$ tel que ${\displaystyle u^{n}\in I}$[2].

On dit qu'un idéal de ${\displaystyle R}$ est un Idéal de Goldman si ${\displaystyle R/I}$ est un anneau de Goldman. Comme l'anneau quotient ${\displaystyle R/I}$ est intègre si et seulement si l'idéal ${\displaystyle I}$ est premier, tout idéal de Goldman est premier. Il est facile de voir que le Radical d'un idéal est l'intersection de tous les idéaux premiers qui le contiennent. On montre que, dans cette intersection, il suffit de se restreindre aux idéaux de Goldman[3].

Tout idéal maximal est un Idéal de Goldman, puisque le quotient par idéal maximal est un corps et qu’un corps est trivialement un anneau de Goldman. Par conséquent, les idéaux maximaux sont des idéaux de Goldman, et les idéaux de Goldman sont des idéaux premiers. Dans un anneau de Jacobson, il n'y a pas d'autres idéaux maximaux que les idéaux de Goldman. C'est en fait une caractérisation équivalente d'un anneau de Jacobson : un anneau est un anneau de Jacobson si tous ses idéaux maximaux sont des idéaux de Goldman. Cette observation, combinée au résultat que ${\displaystyle R}$[X] est un anneau de Jacobson si et seulement si ${\displaystyle R}$ l'est, permet d’obtenir une démonstration simplifiée du Nullstellensatz[4].

Soit ${\displaystyle T\supset R}$, une extension d’anneau d'un anneau de Goldman, ${\displaystyle T}$. On montre que ${\displaystyle T}$ est algébrique sur ${\displaystyle R}$ si et seulement si toute extension d'anneau de ${\displaystyle R}$ contenue dans ${\displaystyle T}$ est un anneau de Goldman[5].

Un anneau noetherien intègre est un anneau de Goldman si et seulement si son rang est inférieur ou égal à un, et s'il n'a qu'un nombre fini d'idéaux maximaux (ou, de manière équivalente, d’idéaux premiers)[4].

• (en) Irving Kaplansky, Commutative rings (édition révisée), University of Chicago Press, 1974 (ISBN 0-226-42454-5, Math Reviews 0345945).
• (en) Gabriel Picavet, Advances in commutative ring theory. Proceedings of the 3rd international conference, New York, Marcel Dekker, coll. « Lect. Notes Pure Appl. Math.s » (n^o 205), 1999, 576 p. (ISBN 978-0-8247-7147-8, notice BnF n^o FRBNF37554947), p. 501–519.

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