Algèbre relationnelle

Les opérateurs ensemblistes sont l'union, l'intersection, la différence et le produit cartésien.

L'union de deux relations sur le même schéma est la relation sur ce schéma contenant exactement l'union des enregistrements de ces deux relations. Formellement, ${\displaystyle R\cup S=\{t:t\in R\ ou\ t\in S\}\,}$.

L'intersection de deux relations sur le même schéma est la relation sur ce schéma contenant exactement les enregistrements qui apparaissent dans les deux relations. Formellement, ${\displaystyle R\cap S=\{t:t\in R\ et\ t\in S\}\,}$.

La différence de deux relations sur le même schéma est la relation sur ce schéma contenant exactement les enregistrements qui apparaissent dans la première relation mais pas dans la deuxième. Formellement, ${\displaystyle R-S=\{t:t\in R\ et\ t\not \in S\}\,}$. Par exemple, on peut calculer les personnes inscrits en football mais qui ne sont pas inscrits en cours de piano :

Avec le produit cartésien de deux relations, on recopie chaque tuple de la première relation pour chacun des tuples de la deuxième. Formellement, ${\displaystyle R\times S=\{(r,s):r\in R\ et\ s\in S\}}$.

La sélection (ou restriction) consiste à ne retenir que les enregistrements vérifiant une condition donnée. Dans l'exemple plus bas, on ne garde que les touristes dont la ville est Paris.

• Données : Une relation ${\displaystyle R\,}$ et une formule ${\displaystyle F\,}$ formée d'une combinaison de comparaisons et de connecteurs logiques.
• Résultat : ${\displaystyle \sigma _{F}(R)=\{r\in R:r\,}$ satisfait la condition donnée par ${\displaystyle F\}\,}$, dans l'exemple ${\displaystyle \sigma _{Ville='Paris'}(\,}$Touristes${\displaystyle )\,}$
• Équivalent SQL : WHERE

• La projection permet de ne garder que certains attributs. Dans l'exemple ci-dessous, on ne garde que les attributs NomT et Ville de la relation Touristes.
  • Données : Une relation ${\displaystyle R\,}$ et un ensemble d'attributs ${\displaystyle A\,}$ de ${\displaystyle R\,}$
  • Résultat : ${\displaystyle \pi _{A}(R)\,}$, qui est la Relation ${\displaystyle R\,}$ où on ne considère que les attributs de ${\displaystyle A\,}$, par exemple ${\displaystyle \pi _{NomT,Ville}(\,}$Touristes${\displaystyle )\,}$
  • Équivalent SQL : SELECT

• Renommage :
  • Données : Une relation ${\displaystyle R\,}$ et un attribut ${\displaystyle b\,}$ de ${\displaystyle R\,}$
  • Résultat : ${\displaystyle \rho _{a/b}(R)\,}$, qui est la Relation ${\displaystyle R\,}$ avec ${\displaystyle b\,}$ renommé ${\displaystyle a\,}$
  • Équivalent SQL : AS

• Jointure :
  • Données : deux relations ${\displaystyle R\,}$ et ${\displaystyle S}$
  • Résultat : ${\displaystyle R\bowtie S=\{(a,b,c):(a,b)\in R\ et\ (b,c)\in S\}\,}$
  • Équivalent SQL : JOIN

• Division : elle prend en entrée deux relations ${\displaystyle R(x_{1},...,x_{m},y_{1},...,y_{p})\,}$ et ${\displaystyle S(y_{1},...,y_{p})\,}$.
  • Ainsi, tout n-uplet ${\displaystyle r\in R\,}$ se décompose en deux n-uplets ${\displaystyle r=(t,s)\,}$, avec ${\displaystyle t=(t_{1},...,t_{m})\,}$ de schéma ${\displaystyle X=\{x_{1},...,x_{m}\}\,}$ et ${\displaystyle s=(s_{1},...,s_{p})\,}$ de schéma ${\displaystyle y=\{y_{1},...,y_{p}\}\,}$. et retourne la table de schéma ${\displaystyle X\,}$ tel que ${\displaystyle R/S=\{t:\forall s\in S,\ (t,s)\in R\}\,}$. La division revient à donner “tous les x tels que pour tout y...”

Il s'agit ici de déterminer des Domaines (i.e., type atomique) :

• Numérique : entier ou réel (SQL : Int, Float, etc.) ;
• Chaîne de caractères (SQL : Char(20), VarChar(32), etc.) ;
• Date (SQL : DATE, TIME, YEAR, etc.) ;
• Type énuméré.

• RAT, Software Rational Algebra Translator to SQL
• (fr) Laurent Audibert, « Bases de données relationnelles », sur developpez.com

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