22 / 7 dépasse π

Une approximation diophantienne simple et courante de la valeur de π est 22/7. En effet, on peut voir que :

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {22}{7}}&=3,{\overline {142\,857}},\\\pi \,&=3,141\,592\,65\ldots \end{aligned}}}$

Archimède avait prouvé que 22/7 surestimait π au cours de III^e siècle av. J.-C. mais utilisait cette approximation[3].

Une meilleure approximation rationnelle de π est donnée par 355/113.

Une preuve moderne de cette inégalité peut se faire par le calcul de l'intégrale

${\displaystyle 0<\int _{0}^{1}{\frac {x^{4}(1-x)^{4}}{1+x^{2}}}~\mathrm {d} x={\frac {22}{7}}-\pi .}$

Le nombre ${\displaystyle \int _{0}^{1}{\frac {x^{4}(1-x)^{4}}{1+x^{2}}}~\mathrm {d} x}$ est strictement positif car la fonction ${\displaystyle x\mapsto {\frac {x^{4}(1-x)^{4}}{1+x^{2}}}}$ est continue et strictement positive sur l'intervalle ]0 ; 1[.

Il reste à démontrer que l'intégrale a effectivement pour valeur la quantité désirée :

${\displaystyle \int _{0}^{1}{\frac {x^{4}(1-x)^{4}}{1+x^{2}}}~\mathrm {d} x}$	${\displaystyle =\int _{0}^{1}{\frac {x^{4}-4x^{5}+6x^{6}-4x^{7}+x^{8}}{1+x^{2}}}~\mathrm {d} x}$	(développement du numérateur)
	${\displaystyle =\int _{0}^{1}\left(x^{6}-4x^{5}+5x^{4}-4x^{2}+4-{\frac {4}{1+x^{2}}}\right)\mathrm {d} x}$	(par décomposition en éléments simples de l'intégrande)
	${\displaystyle =\left[{\frac {x^{7}}{7}}-{\frac {2x^{6}}{3}}+x^{5}-{\frac {4x^{3}}{3}}+4x-4\arctan x\,\right]_{0}^{1}}$	(intégration définie)
	${\displaystyle ={\frac {1}{7}}-{\frac {2}{3}}+1-{\frac {4}{3}}+4-\pi \ ={\frac {22}{7}}-\pi .}$	(addition)

Dalzell[4] donne un résultat plus fin en bornant la différence avec l'étude du dénominateur. On a ainsi

${\displaystyle \int _{0}^{1}{\frac {x^{4}(1-x)^{4}}{2}}~\mathrm {d} x<\int _{0}^{1}{\frac {x^{4}(1-x)^{4}}{1+x^{2}}}~\mathrm {d} x<\int _{0}^{1}{\frac {x^{4}(1-x)^{4}}{1}}~\mathrm {d} x.}$

Ce qui donne après calcul :

${\displaystyle {\frac {1}{1\;260}}<{\frac {22}{7}}-\pi <{\frac {1}{630}}.}$

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