1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16 + ⋯

Comme pour toute série infinie, la somme infinie

${\displaystyle {\frac {1}{2}}+{\frac {1}{4}}+{\frac {1}{8}}+{\frac {1}{16}}+\cdots }$

est définie comme signifiant la limite de la somme des n termes

${\displaystyle s_{n}={\frac {1}{2}}+{\frac {1}{4}}+{\frac {1}{8}}+{\frac {1}{16}}+\cdots +{\frac {1}{2^{n-1}}}+{\frac {1}{2^{n}}}}$

Multiplier s_n par 2 révèle une relation utile :

${\displaystyle 2s_{n}={\frac {2}{2}}+{\frac {2}{4}}+{\frac {2}{8}}+{\frac {2}{16}}+\cdots +{\frac {2}{2^{n}}}=1+\left[{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{4}}+{\frac {1}{8}}+\cdots +{\frac {1}{2^{n-1}}}\right]=1+\left[s_{n}-{\frac {1}{2^{n}}}\right].}$

En soustrayant s_n des deux côtés, on a

${\displaystyle s_{n}=1-{\frac {1}{2^{n}}}.}$

Lorsque n tend vers l'infini, s_n tend vers 1.

Cette série a été utilisée comme une représentation d'un des paradoxes de Zénon[1]. Les parties de l'œil Oudjat ont été pensées autrefois pour représenter les six premiers termes de la série[2].

• 0,999…
• Point de prolongation
• 1/4 + 1/16 + 1/64 + 1/256 + ⋯
• 1 + 2 + 4 + 8 + ⋯

• Portail de l'analyse