Équation du radar

Établir l’équation du radar consiste à faire le bilan de puissance sur le trajet aller/retour du signal émis. La puissance reçue par l'antenne réceptrice d'un radar est donnée par[1]^,[2] :

${\displaystyle P_{r}=P_{t}{{G_{t}G_{r}\lambda ^{2}\sigma } \over {{(4\pi )}^{3}R_{t}^{2}R_{r}^{2}}}}$Où:

Variables

Énergie retournée selon la direction par une cible, correspondant à sa surface équivalente radar

On voit que l'équation est fonction de plusieurs constantes et variables. Du côté du radar, on a la puissance transmise (${\displaystyle \scriptstyle P_{t}}$), le gain d'antenne (${\displaystyle \scriptstyle G_{t}}$ et ${\displaystyle \scriptstyle G_{r}}$) soit le rapport entre la puissance rayonnée dans le lobe principal et la puissance rayonnée par une antenne isotrope et la longueur d'onde utilisée ${\displaystyle \scriptstyle \lambda }$. Ces valeurs sont en général constantes.

La réponse d'une cible est liée à sa surface équivalente (${\displaystyle \sigma }$) définie dans cette équation et sa distance. La cible est une composition de surfaces élémentaires. Comme elle est en mouvement, cette surface équivalente évolue à chaque instant et donne un retour qui varie. Une surface élémentaire ${\displaystyle s_{k}}$ produit un signal élémentaire ${\displaystyle e_{k}}$ reçu au niveau du radar :

${\displaystyle e_{k}=a_{k}\cos(2\pi f_{0}t+\Phi _{k})}$

Le signal total sera de la forme : ${\displaystyle S=\sum e_{k}}$

Alors que les différents ${\displaystyle a_{k}}$ ne sont pas nuls, la somme des ${\displaystyle e_{k}}$ peut être nulle à cause des différences de phases ${\displaystyle \Phi _{k}}$ de chaque terme.

On définit la portée utile maximale, la distance pour laquelle le bilan de puissance fera apparaître le signal minimum, noté ${\displaystyle S_{min}}$, que l'on peut détecter, en puissance reçue[1] :

${\displaystyle R_{max}^{4}={{P_{t}G^{2}\lambda ^{2}\sigma } \over {{(4\pi )}^{3}S_{min}}}.}$

Un faisceau radar a des caractéristiques physiques qui dépendent de l'antenne utilisée, de la longueur de l'impulsion et de la longueur d'onde utilisée qui lui donne une largeur et une profondeur de volume de résolution. L'équation générale est bonne pour le cas d'une onde radar retournée par une cible unique comme un avion dans ce volume sondé. Cependant, dans le cas où l'onde provient d'une multitude de cibles dans le volume sondé, comme dans le cas de gouttes de pluie avec un radar météorologique, le ${\displaystyle \sigma }$ doit être développé ainsi[3] :

${\displaystyle {\bar {\sigma }}=V\sum \sigma _{j}=V\eta .}$

Où

V = Volume sondé = longueur impulsion x largeur faisceau

V = ${\displaystyle \left[{\frac {c\tau }{2}}\right]\left[{\frac {\pi R^{2}\theta ^{2}}{4}}\right]\qquad \qquad {\begin{cases}c=vitesse\ de\ la\ lumi{\grave {e}}re\\\tau =longueur\ temporelle\ de\ l'impulsion\\\theta =ouverture\ du\ faisceau\ en\ degr{\acute {e}}\ radian\end{cases}}.}$

et ${\displaystyle \eta }$ est la réflectivité radar.

En combinant l'équation radar avec cette définition du retour effectif des cibles, on arrive à:

${\displaystyle P_{r}=\left[P_{t}{{G^{2}\lambda ^{2}} \over {{(4\pi )}^{3}R^{4}}}\right]\left[{\frac {c\tau }{2}}\right]\left[{\frac {\pi R^{2}\theta ^{2}}{4}}\right]\eta .}$

L'équation devient:

${\displaystyle P_{r}=\left[P_{t}\tau G^{2}\lambda ^{2}\theta ^{2}\right]\left[{\frac {c}{512(\pi ^{2})}}\right]{\frac {\eta }{R^{2}}}.}$

L'équation précédente est obtenue en supposant que la puissance transmise par unité de surface est la même partout à l'intérieur du cône défini par l'angle d'ouverture ${\displaystyle \theta }$, ce qui n'est pas le cas en réalité (la puissance est plus importante près de l'axe de visée qu'aux bords du cône). En 1962, Probert-Jones proposa une autre expression pour l'équation du radar qui s'avéra plus en concordance avec les mesures expérimentales. En modélisant le faisceau radar par une gaussienne, (ce qui est correct pour une antenne en forme de paraboloïde de révolution), l'équation radar s'écrit plutôt[3] :

${\displaystyle P_{r}=\left[P_{t}\tau G^{2}\lambda ^{2}\theta ^{2}\right]\left[{\frac {c}{512(2\ln 2)\pi ^{2}}}\right]{\frac {\eta }{R^{2}}}.}$

${\displaystyle \Rightarrow }$Ceci montre que dans le cas de cibles volumiques l'énergie reçue décroît inversement à ${\displaystyle R^{2}}$ au lieu de ${\displaystyle R^{4}}$.

R. J. Doviak et D. S. Zrnic, Doppler Radar and Weather Observations, Academic Press. Seconde Édition, San Diego Cal., 1993, 562 p.

J. R. Probert-Jones, The radar equation in meteorology, Quarterly Journal of the Royal Meteorological Society, volume 88, p. 485–495, 1962.

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