Équation de Riccati

En 1720, Francesco Riccati présente à son ami, Giovanni Rizzetti, deux équations différentielles qu'il cherche à résoudre :

• ${\displaystyle (1)\quad y'=ay^{2}+bx+cx^{2}\,}$ où a, b et c sont des constantes réelles ;
• ${\displaystyle (2)\quad y'=ay^{2}+bx^{m}\,}$ où a, b et m sont des constantes réelles.

La première équation est issue de l'étude d'un mouvement plan vérifiant l'équation différentielle linéaire suivante :

${\displaystyle {\begin{pmatrix}x'\\y'\\\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}a&b\\c&d\\\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}x\\y\\\end{pmatrix}}}$ où x et y sont les coordonnées d'un point M en mouvement.

En s'intéressant à la pente z de la droite (OM), il prouve que z doit vérifier une équation du type (1), d'où son désir d'en étudier les solutions générales.

La seconde équation ne fut résolue que partiellement par son auteur et par les Bernoulli (Nicolas 1^er et Daniel tout particulièrement). Le fils de Francesco, Vicenzo Riccati, en développa une méthode de résolution par tractoire. Goldbach s'y attela aussi. Puis, en 1841, Liouville prouva qu'en dehors du cas

${\displaystyle m={\frac {(-4h)}{(2h\pm 1)}}}$ où h est un entier naturel,

l'équation n'est pas résoluble par quadratures.

Les équations de Riccati se généralisent ensuite à toute équation de la forme

${\displaystyle y'=q_{0}(x)+q_{1}(x)y+q_{2}(x)y^{2}}$.

Pour certaines conditions sur ${\displaystyle q_{0}\,}$, ${\displaystyle q_{1}\,}$, ${\displaystyle q_{2}\,}$, l'équation est résoluble par quadrature. Grâce au théorème de Cauchy-Lipschitz, on prouve que, si ${\displaystyle q_{0}\,}$, ${\displaystyle q_{1}\,}$ et ${\displaystyle q_{2}\,}$ sont des fonctions continues, alors il existe des solutions à l'équation de Riccati. Enfin on démontre que, si l'on en connaît une solution particulière, une équation de Riccati se ramène par changement de variable à une équation de Bernoulli.

L'équation différentielle non-linéaire de Riccati peut toujours être reformulée en une équation différentielle linéaire Ordinaire (EDO)[1]. Si

${\displaystyle y'=q_{0}(x)+q_{1}(x)y+q_{2}(x)y^{2}\!}$

avec ${\displaystyle q_{2}}$ non nulle et dérivable, alors ${\displaystyle v=yq_{2}}$ vérifie l'équation de Riccati de la forme

${\displaystyle v'=v^{2}+R(x)v+S(x),\!}$

où ${\displaystyle S=q_{2}q_{0}}$ et ${\displaystyle R=q_{1}+{\frac {q_{2}'}{q_{2}}}}$. En effet,

${\displaystyle v'=(yq_{2})'=y'q_{2}+yq_{2}'=(q_{0}+q_{1}y+q_{2}y^{2})q_{2}+v{\frac {q_{2}'}{q_{2}}}=q_{0}q_{2}+\left(q_{1}+{\frac {q_{2}'}{q_{2}}}\right)v+v^{2}.\!}$

En substituant ${\displaystyle v=-u'/u}$, il suit que ${\displaystyle u}$ vérifie l'EDO linéaire d'ordre 2

${\displaystyle u''-R(x)u'+S(x)u=0\!}$

puisque

${\displaystyle v'=-(u'/u)'=-(u''/u)+(u'/u)^{2}=-(u''/u)+v^{2}\!}$

de sorte que

${\displaystyle u''/u=v^{2}-v'=-S-Rv=-S+Ru'/u\!}$

et ainsi

${\displaystyle u''-Ru'+Su=0.\!}$

Une solution de cette équation mène à une solution ${\displaystyle y=-u'/(q_{2}u)}$ de l'équation de Riccati initiale.

S'il est possible de trouver une solution ${\displaystyle \,y_{1}}$, alors la solution générale est de la forme

${\displaystyle y=y_{1}+u\,}$.

En remplaçant

${\displaystyle y\,}$ par ${\displaystyle y_{1}+u\,}$

dans l'équation de Riccati, on obtient :

${\displaystyle y_{1}'+u'=q_{0}+q_{1}(y_{1}+u)+q_{2}(y_{1}+u)^{2}\,,}$

et comme

${\displaystyle y_{1}'=q_{0}+q_{1}y_{1}+q_{2}y_{1}^{2}\,,}$

on a :

${\displaystyle u'=q_{1}u+2q_{2}y_{1}u+q_{2}u^{2}\,.}$

Or

${\displaystyle u'-(q_{1}+2q_{2}y_{1})u=q_{2}u^{2}\,}$

est une équation de Bernoulli. La substitution nécessaire à la résolution de cette équation de Bernoulli est alors :

${\displaystyle z=u^{1-2}={\frac {1}{u}}}$.

Elle conduit à l'équation linéaire :

${\displaystyle z'+(q_{1}+2q_{2}y_{1})z=-q_{2}\,}$.

La solution générale de l'équation de Riccati est alors donnée par :

${\displaystyle y=y_{1}+{\frac {1}{z}}}$

où z est la solution générale de l'équation linéaire citée ci-dessus.

On rencontre des équations de Riccati en physique quantique dans des problèmes portant sur l'équation de Schrödinger, dans l'équation des ondes, en filtrage optimal (filtre de Kalman), en commande optimale linéaire quadratique, en commande LQG, ou bien encore dans l'équation de la propagation de la chaleur en régime sinusoïdal. Dans ces cas-là, la fonction ${\displaystyle q_{1}}$ est à valeurs complexes.

On les rencontre également en mathématiques financières, notamment dans le cadre du modèle de Heston et dans des problèmes portant sur la modélisation des taux d'intérêt (par exemple le modèle Cox-Ingersoll-Ross)[2].

• Serge Mehl, « équation de Riccati », sur ChronoMath
• (en) S. Bittanti, « History and Prehistory of the Riccati Equation », 1997 (DOI 10.1109/CDC.1996.572758)
• René Lagrange, « Quelques théorèmes d'intégrabilité par quadratures de l'équation de Riccati », Bull. S.M.F., vol. 66,‎ 1938, p. 155-163 (lire en ligne)
• Résolution par des tractoires, sur abraCAdaBRI
• Supplément à l'Encyclopédie ou Dictionnaire raisonné des sciences, des arts et des métiers, p. 648, sur Gallica

• (en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Riccati equation » (voir la liste des auteurs).

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