Énergie potentielle élastique

L'énergie potentielle élastique, notée ${\displaystyle E_{pe}}$ et exprimée en joules, dépend de x (allongement ou raccourcissement du ressort par rapport à la longueur au repos de celui-ci) en mètres et de la constante de rappel ou de raideur k du ressort, exprimée en newtons par mètre (N/m) selon la relation :

${\displaystyle E_{pe}={\frac {1}{2}}kx^{2}}$

Supposons un repère ${\displaystyle (O,{\vec {i}})}$ avec O représentant la position de l'extrémité du ressort au repos et ${\displaystyle {\vec {i}}}$ dirigé suivant l'axe du ressort.

Alors une force élastique ${\displaystyle {\vec {F}}}$ a une expression du type :

${\displaystyle {\vec {F}}=-k{\vec {x}}}$

donnée par la loi de Hooke.

Alors, d'après la relation :

${\displaystyle \ \delta W_{F}={\vec {F}}\cdot {\vec {dx}}=-\delta E_{pe}}$

Donc,

${\displaystyle \delta E_{pe}=kxdx=d({\frac {1}{2}}kx^{2})\!}$

Ainsi, on en déduit par intégration la relation suivante :

${\displaystyle E_{pe}={\frac {1}{2}}kx^{2}+cte}$

Énergie élastique en fonction de l'étirement ou de la contraction.

On peut faire un calcul similaire avec une rotation, au lieu d'une translation.

À sa position naturelle, c'est-à-dire lorsqu'il n'est ni comprimé, ni étiré, l'énergie potentielle d'un ressort est nulle[2]. Aussi, puisque la variation de position par rapport à sa position naturelle est élevée au carré dans la formule servant à déterminer son énergie potentielle, cette dernière prend toujours une valeur positive[2]. L'énergie potentielle d'un ressort peut donc s'illustrer sous la forme d'une parabole positive fonction de x. Il est à noter que, pour que les relations mathématiques précédentes s'avèrent exactes, le ressort doit être idéal, c'est-à-dire qu'il ne doit pas subir de déformation et ses spires ne doivent pas se toucher lors de l'étirement ou de la compression[3].

Pratique du tir à l'arc.

 : document utilisé comme source pour la rédaction de cet article.

• Harris Benson (trad. Marc Séguin, Benoît Villeneuve, Bernard Marcheterre et Richard Gagnon), Physique 1 Mécanique, Édition du Renouveau Pédagogique, 2009, 4^e éd., 465 p. 
• Michel Cazin (préf. Étienne Guyon), Dictionnaire de la physique : mécanique et thermodynamique, Albin Michel, coll. « Encyclopaedia universalis », 2001, 1230 p. (présentation en ligne)
• Hans Breuer, Atlas de la physique, La Pochothèque, coll. « Encyclopédies d'aujourd'hui », 1997, 403 p.
• Marielle Champagne, Option science Physique La mécanique, Édition du Renouveau Pédagogique, 2009, 330 p. 

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