Primalité dans un anneau

En algèbre commutative, dans un anneau intègre, un élément p est dit irréductible s'il n'est ni inversible, ni produit de deux éléments non inversibles. Il est dit premier[Réf. 1] s'il n'est ni nul ni inversible et si, pour tout produit ab divisible par p, l'un des deux facteurs a ou b est divisible par p. Tout élément premier est irréductible. Dans un anneau factoriel (comme l'anneau des entiers ou l'anneau des polynômes à coefficients dans un corps), ces deux notions sont équivalentes.

« Élément irréductible » et « Élément premier » redirigent ici. Pour les autres significations, voir Élément, Irréductible et Premier.

Deux éléments a et b sont dits premiers entre eux si tout diviseur commun à a et b est inversible.

Introduction

Dans l'anneau des entiers, il existe différentes caractérisations des nombres premiers et des nombres premiers entre eux qui, dans un anneau quelconque, conduisent à trois couples de notions différentes. Dans la suite, A est un anneau intègre et a, b, p sont des éléments de A. Un idéal de A est dit propre s'il est différent de A. La notation désigne l'idéal principal engendré par (c'est-à-dire l'ensemble des multiples de ).

Éléments premiers entre eux et élément irréductible
  • On dit que a et b sont premiers entre eux ou que a est premier avec b si tout diviseur commun à a et b est inversible[Note 1].

Conditions équivalentes :

  1. Le PGCD de a et b (existe et) est égal à 1 ;
  2. L'idéal (a)+(b) n’est inclus dans aucun idéal principal propre de A.

Probablement par influence des polynômes, la notion suivante n'est pas baptisée « élément premier », mais « élément irréductible » :

  • On dit que p est irréductible s'il n'est ni nul ni inversible et s'il est premier avec tout élément qu'il ne divise pas.

Conditions équivalentes :

  1. p n'est ni inversible, ni produit de deux éléments non inversibles ;
  2. p n'est[Réf. 2] ni nul ni inversible, et ses seuls diviseurs sont les inversibles ou les éléments associés à p ;
  3. (p) est non nul, et maximal dans l’ensemble des idéaux principaux propres de A.

Éléments indissolubles entre eux et élément premier
  • Lorsque a et b sont non nuls, on dit qu'ils sont indissolubles entre eux (ou « premiers entre eux au sens de Gauss ») si pour tout élément x de A,
si a divise bx alors a divise x.

Conditions équivalentes (d'après les deux dernières, cette notion est donc symétrique en a et b) :

  1. b est simplifiable (ou : non diviseur de 0) dans l'anneau quotient A/(a) ;
  2. tout multiple de a et b est multiple de ab ;
  3. le PPCM de a et b (existe et) est égal au produit ab.

La définition correspondante est alors :

  • p est dit premier (ou indissoluble) s'il est non nul, non inversible, et indissoluble avec tout élément qu'il ne divise pas.

Conditions équivalentes :

  1. p est non nul, non inversible, et pour tout produit ab divisible par p, l'un des facteurs a ou b est divisible par p ;
  2. p est non nul et A/(p) est intègre ;
  3. (p) est un idéal premier non nul de A.

Éléments étrangers et élément extrémal

La notion d'éléments étrangers correspond à la caractérisation des nombres premiers entre eux par le théorème de Bachet-Bézout.

  • On dit que a et b sont étrangers s'il existe des éléments u et v de A tels que au + bv = 1[Note 1], condition qui s'écrit aussi sous la forme (a) + (b) = A.

La définition correspondante est alors :

  • On dit que p est extrémal s'il est non nul, non inversible, et étranger à tout élément qu'il ne divise pas.

Conditions équivalentes :

  1. p est non nul et non inversible, et tout élément de A non multiple de p est inversible modulo p ;
  2. (p) est un idéal maximal non nul de A ;
  3. p est non nul et A/(p) est un corps.

Liens entre ces trois notions

Dans les contre-exemples ci-dessous, K désigne un corps, et A = K[X2,XY,Y2] le sous-anneau de K[X,Y] formé des polynômes dont chaque monôme est de degré total pair (cet anneau est isomorphe à K[U,V,W]/(W2-UV), via le morphisme induit par U↦X2, V↦Y2, et W↦XY).

  • étrangers ⇒ indissolubles entre eux ⇒ premiers entre eux[Note 2].
Démonstration

Supposons a et b non nuls.

  • Si a et b sont étrangers alors ils sont indissolubles entre eux :

Si au + bv = 1 et si a divise bx, alors bx s'écrit ay, si bien que x = (au + bv)x = aux + bxv = aux + ayv = a(ux + yv) est divisible par a.

  • Si a et b sont indissolubles entre eux alors ils sont premiers entre eux :

Si ab est un PPCM de a et b et si d est un diviseur commun, alors a s'écrit a'd et b s'écrit b'd, si bien que a'b'd, multiple commun de a et b, est divisible par ab = a'b'd2, donc d est inversible.

Remarque.

L'intégrité, utilisée à la fin de cette démonstration, est indispensable. Dans l'anneau non intègre ℤ2, l'élément premier (1,0) n'est pas irréductible.

Les réciproques sont fausses :
Dans K[X,Y], X et Y sont indissolubles entre eux mais pas étrangers ;
Dans l'anneau A, les éléments XY et X2 sont premiers entre eux mais pas indissolubles entre eux (car XY divise X2Y2 mais pas Y2).
  • extrémal ⇒ premier ⇒ irréductible.
Ces deux implications se déduisent immédiatement des deux précédentes.
Les réciproques sont fausses :
Dans K[X,Y], X est premier non extrémal (en fait K[X,Y] ne contient aucun élément extrémal) ;
Dans A, l'élément XY est irréductible mais non premier (il divise X2Y2 mais ni X2, ni Y2).
  • Dans un anneau à PGCD (anneau où tout couple d'éléments possède un PGCD), et donc en particulier dans un anneau factoriel, premiers entre eux équivaut à indissolubles entre eux (donc irréductible équivaut à premier).
  • Dans un anneau de Bézout (anneau intègre dans lequel tout idéal de type fini est principal), et donc en particulier dans un anneau principal (comme ℤ ou K[X]), les trois notions (étrangers, indissolubles entre eux, premiers entre eux) sont équivalentes (donc irréductible équivaut à premier équivaut à extrémal).

Notes et références

Notes
  1. Si l'un des deux éléments a, b est nul, cette condition équivaut à l'inversibilité de l'autre.
  2. La définition ci-dessus de « indissolubles entre eux » est restreinte au cas où les deux éléments sont non nuls, mais on peut rendre vraies ces deux implications en décrétant que si l'un des deux éléments a, b est nul, alors ils sont indissolubles entre eux si et seulement si l'autre est inversible.

Références
  1. Dany-Jack Mercier, Fondamentaux d'algèbre & d'arithmétique, Publibook, 2010 (ISBN 978-2-74835410-2), p. 108, Définition 60
  2. Dany-Jack Mercier, op. cit., p. 106, Définition 57

Serge Lang, Algèbre [détail des éditions]

Article connexe

Factorisation des polynômes

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