Les suites paramétrées

Les suites paramétrées sont simplement des suites définies par une fonction mathématique ${\displaystyle u_{n}=f(n)}$. En clair, construire la suite demande simplement de dire que tel rang est associé à tel terme de manière univoque. Comme exemple de suite paramètres, on peut citer la suites définie par ${\displaystyle f(n)=n^{2}}$. Celle-ci est illustrée dans le tableau ci-dessous.

La suite numérique définie par ${\displaystyle f(n)=n^{2}}$

Rang ${\displaystyle n}$	1	2	3	4	5	6	7	...
Terme ${\displaystyle u_{n}}$	1	4	9	16	25	36	49	...

Comme autres exemples de suites paramétrées, nous allons prendre les suites de Riemann, des suites où chaque terme est une puissance de l'inverse d'un entier... Pour le dire plus clairement, ce sont des suites de la forme :

${\displaystyle u_{n}={\frac {1}{n^{r}}}}$, avec r un coefficient appelé la raison de la suite.

suite harmonique alternée

La suite de Riemann la plus simple est la suite harmonique, la suite de l'inverse des entiers naturels.

${\displaystyle S_{h}=1,{\frac {1}{2}},{\frac {1}{3}},{\frac {1}{4}},{\frac {1}{5}},{\frac {1}{6}},...}$

On peut modifier la suite harmonique en inversant les signes d'un terme à l'autre : on obtient alors la suite harmonique alternée.

${\displaystyle S_{h}=1,-{\frac {1}{2}},{\frac {1}{3}},-{\frac {1}{4}},{\frac {1}{5}},-{\frac {1}{6}},...}$

Une autre suite de Riemann, que nous étudierons dans les chapitres suivants, est la suite de l'inverse des carrés. Elle est définie par :

${\displaystyle u_{n}={\frac {1}{n^{2}}}=1,{\frac {1}{2^{2}}},{\frac {1}{3^{2}}},{\frac {1}{4^{2}}},{\frac {1}{5^{2}}},...}$

Les suites récurrentes

Une autre méthode consiste à définir comment passer d'un terme au suivant. Dans ce cas, la suite est définie par une fonction de la forme ${\displaystyle u_{n}=f(u_{n-1})}$. On voit que le cas précédent marche dans le cas où chaque terme dépend de la valeur du terme précédent. Mais on peut généraliser au cas où chaque terme dépend de plusieurs termes précédents, avec des fonctions de la forme ${\displaystyle u_{n}=f(u_{n-1},u_{n-2},u_{n-3},u_{n-4}...)}$. Ces suites sont appelées des suites récurrentes.

Ces suites sont définies par la fonction qui permet de calculer un terme en fonction des précédents, mais pas seulement ! En effet, une même fonction peut donner plusieurs suites, selon le premier terme utilisé. Par exemple, les deux suites (1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, ...) et (3, 6, 12, 24, 48, 96, ...) respectent toutes deux la fonction ${\displaystyle u_{n}=2\times u_{n-1}}$, mais leur premier terme est différent. En plus de préciser la fonction, on doit préciser le ou les premiers termes. Comme exemple de suite récurrente, nous donnant dans le tableau ci-dessous un exemple de suite récurrente assez simple : celle définie par la fonction ${\displaystyle u_{n}=u_{n-1}/2}$ et le premier terme 1.

La suite numérique définie par ${\displaystyle u_{n}=u_{n-1}/2}$ et ${\displaystyle u_{1}=1}$

Rang ${\displaystyle n}$	1	2	3	4	5	6	7	...
Terme ${\displaystyle u_{n}}$	1	0.5	0.25	0.125	0.0625	0.03125	0.015625	...

L'étude des suites paramétrées se limite souvent à trouver une expression non-récurrente (paramétrée), plus simple à manipuler. Quand cela n'est pas possible, il est intéressant d'étudier le comportement de la suite quand n devient grand, pour savoir si les termes grandissent, diminuent, si la suite se stabilise, etc.

Les suites majorées, minorées et bornées

Une suite majorée est une suite dont tous les termes sont plus petits qu'une constante définie. Dit autrement, pour tout ${\displaystyle u_{n}}$, ${\displaystyle u_{n}<k}$. La constante, plus grande que tous les termes de la suite, est appelée un majorant. On peut cependant préciser que toute suite qui a un majorant en a une infinité ! Par exemple, prenons une suite quelconque qui est majorée par 100 : elle est aussi majorée par 101, 102, 103, etc. Tous les nombres supérieurs à un majorant sont eux-mêmes des majorants. Parmi tous ces majorants, il en existe un qui est plus petit que les autres, ce qui lui vaut le nom de borne supérieure de la suite.

Une suite minorée est une suite dont tous les termes sont plus grands qu'une constante définie. Dit autrement, pour tout ${\displaystyle u_{n}}$, ${\displaystyle u_{n}>k}$. La constante, plus petite que tous les termes de la suite, est appelée un minorant. Encore une fois, toute suite qui a un minorant en a une infinité : tout nombre plus petit qu'un minorant est lui-même un minorant. Parmi tous ces minorants, il en existe un qui est plus petit que les autres, ce qui lui vaut le nom de borne inférieure de la suite.

Une suite bornée est une suite qui est à la fois minorée et majorée, ce qui fait que tous les termes de la suite sont pris dans un intervalle.

Illustration d'une suite bornée, qui montre bien les bornes supérieures et inférieures.

Les suites monotones et constantes

Les suites numériques ont souvent des propriétés que d’autres suites n’ont pas forcément, la raison étant que les nombres peuvent être ordonnés : on peut dire si un nombre est supérieur, inférieur ou égal à un autre. Cela permet donc de comparer les termes consécutifs d'une suite. Dans quelques cas, les termes consécutifs d'une suite sont les mêmes, que ce soit dès le début de la suite, ou alors au-delà d'un certain rang.

• Si chaque terme est égal au précédent, la suite est dite constante.
• Il existe des suites qui sont constantes au-delà d'un certain rang, mais pas avant celui-ci : on les appelle des suites stationnaires.

D'autres suites ont des termes différents : chaque terme est plus grand ou plus petit que le précédent.

• Dans le cas où chaque terme de la suite est plus grand que le précédent (pour tout rang ${\displaystyle n}$, on a : ${\displaystyle u_{n+1}>u_{n}}$), la suite est dite strictement croissante.
• Dans le cas contraire, on a ${\displaystyle u_{n+1}<u_{n}}$ pour tout rang ${\displaystyle n}$ et la suite est dite strictement décroissante.
• Si ${\displaystyle u_{n+1}\leq u_{n}}$, la suite est dite décroissante.
• Si ${\displaystyle u_{n+1}\geq u_{n}}$, la suite est dite croissante.

Certaines suites récurrentes sont soit croissantes, soit décroissantes, selon leur premier terme ou la fonction utilisée. Tel est le cas de la suite définie par la relation ${\displaystyle u_{n}=u_{n-1}\times 5}$ : la fonction est décroissante avec ${\displaystyle u_{0}<0}$ et croissante avec ${\displaystyle u_{0}>0}$. Pour éviter de dire qu’une catégorie de suite est soit croissante, soit décroissante, on préfère dire qu’elle est monotone. A noter que certaines suites deviennent monotones au-delà d'un certain rang, mais ne le sont pas forcément avant. Ces suites sont aux suites monotones ce que les suites stationnaires sont aux suites constantes. Mais il faut avouer que ces suites sont assez rares et que nous n'aurons pas à en manipuler beaucoup dans ce cours.

Les suite périodiques et ultimement périodiques

Une suite périodique forme un cycle, les mêmes valeurs revenant périodiquement au-delà d'un certain rang. De manière générale, une suite périodique est une suite telle que les termes forment une séquence de la forme : ${\displaystyle u_{1},u_{2},u_{3},...,u_{p-1},u_{p},u_{1},u_{2},u_{3},...,u_{p-1},u_{p},...}$. Le nombre de termes répétés ${\displaystyle p}$ est appelé la période de la suite. Au fait, si une suite est (ultimement ou non) périodique de période ${\displaystyle p}$, alors elle est aussi périodique de période ${\displaystyle 2p}$, ${\displaystyle 3p}$, ${\displaystyle 4p}$, ${\displaystyle 5p}$, ... Les suites périodiques sont définies de telle sorte que, quel que soit le rang ${\displaystyle n}$ : ${\displaystyle a_{n+p}=a_{n}}$. En voici quelques exemples :

• Les suites constantes sont des suites périodiques de période 1.
• Un autre exemple de suite périodique est la suite définie par ${\displaystyle u_{n}=(-1)^{n}}$ : ${\displaystyle 1,-1,1,-1,1,-1,1,-1,...}$, qui a une période de 2.

Les suites ultimement périodiques sont similaires aux suites périodiques, à un détail près : le début de la suite n'est pas périodique, la suite n'étant périodique qu'au-delà d'un certain rang. Par exemple, les suites stationnaires (constantes au-delà d'un certain rang) sont des suites ultimement périodiques de période 1.

Les suites périodiques et quasi-périodiques sont toutes bornées. Cela parait évident à démontrer : chaque période, chaque cycle, ne renferme qu'un nombre limité de valeurs différentes (${\displaystyle p}$ valeurs pour être exact), ce qui est incompatible avec une suite non-bornée. Les suites périodiques sont donc bornées entre la plus grande de ces valeurs et la plus petite. Quant aux suites quasi-périodiques, elles possèdent fatalement un nombre fini de termes avant de devenir périodique, ce qui fait que le même raisonnement s'applique.

Il existe des suites pour lesquelles on n'a pas encore réussit à prouver si elles sont ou non (quasi-)périodiques. Le meilleur exemple est la suite de Syracuse, définie par la relation de récurrence suivante  :

${\displaystyle u_{0}=N}$

${\displaystyle u_{n+1}={\begin{cases}{\dfrac {u_{n}}{2}}&{\mbox{si }}u_{n}{\mbox{ est pair,}}\\3u_{n}+1&{\mbox{si }}u_{n}{\mbox{ est impair.}}\end{cases}}}$

Dans la totalité des cas connus, la suite de Syracuse se stabilise au bout d’un certain temps : la fin de la suite sera une succession de 1, 4, 2, 1, 4, 2, etc. Les tentatives de trouver des contre-exemples se sont retrouvées infructueuses, même en utilisant des ordinateurs très puissants pour tester N jusqu’à des valeurs extraordinairement grandes. Faute de contre-exemples connus à l'heure actuelle, les mathématiciens ont conjecturé que la suite est quasi-périodique pour toutes les valeurs possibles du N initial. Mais à ce jour, les mathématiciens n'en ont pas la preuve et ils n'arrivent pas non plus à démontrer le contraire. La situation est telle que le grand mathématicien feu Paul Erdős a déclaré à propos de cette suite que "Les mathématiques ne sont pas encore prêtes pour de tels problèmes".